武汉理工大学2014年数学建模课程论文
题目：金属板切割问题
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选课老师：黄小为
2014年6月23日
金属板切割问题：
在一个金属板加工车间内将要从尺寸为48分米×96分米的大块矩形金属板上切割下小块的金属板。
此车间接到订单要求为：生产8块大小为36分米×50分米的矩形金属板，13块大小为24分米×36分米的矩形金属板，以及15块大小为18分米×30分米的矩形金属板。
这些金属板都需要从现有的大块金属板上切割下。
为生产出满足订单要求的金属板，最少可以使用多少块大块金属板？
摘要
本文介绍了金属板切割问题的数学模型的建立方法。
要求对车间生产切割金属板的方式进行数学规划，以达到经济效益最大化。
可以采用穷举法和实际意义相结合的方法，找出题目的隐含条件，通过各种搭配找到合理的切割金属板的模式。
在找到各种模式后，通过建立非线性规划的数学模型，以模式为基点，将本题中的订单转化为切割金属板的各种约束条件。
最后通过LINGO软件中的数学规划模型求解功能求解出目标函数值，并且通过验证证明，该模型求解出的最少原料使用量与具体切割方式是完全满足题目要求的。
关键词：切割方式；非线性规划；LINGO
1.问题要求
本题主要是讨论金属板的最优切割方式，并拟定最合理的方案使工厂经济效益实现最大化。
由已知条件知道工厂需要将一块完整的大矩形金属板切割成多块不同的小矩形金属板，并且已经给出了所需产品的尺寸和数量。
从经济方面来看，金属板材料是最大的成本因素，因此，建立出的模型必须要遵循着节约材料的原则，然后结合实际情况，制定最合理的切割计划。
2.模型假设
（1）假设车间是以减少原料投入为主要节省方式。
实际上，金属加工生产中的余废料价值远远小于完整的原料价值，因此这样假设确立了模型是以最小原料使用量为目标。
（2）金属切割时不发生原料总面积减少。
在生产实践当中，由于切割工艺问题， 在切割板材是会使切割线位置出现原料耗损（如融化，形变等）。
在模型中假设这种耗损不存在。
（3）不考虑切割方式增加所带来的成本成本增加。
作为简单的直线切割问题，生产模式的增加对设备要求、人力要求很少，因此对成本的增加微乎其微可以忽略，即不限制切割模式的数量。
（4）假设所有原材料的大小规格完全一致，这样假设避免一些不确定因素对模型求解时的不利影响，简化模型。
【1】
3.模型建立
符号说明
z 原料使用量
i x （i =1,2,3,4,5,6） 第i 种方案所用的原料数
A )(5036dm ⨯产品
B )(3624dm ⨯产品
C ）（dm 3018⨯产品
问题分析
根据题目可知，即将原料）（dm 9648⨯的金属板材切割成A 、B 、C 三种样式
的产品。
由于题中所涉及数据量较少，因此只需建立一个简单的非线性规划模型，求解目标函数Z 的最优解即可。
在求解Z 最优值的时候，根据订单所需的各项指标，采用原料使用量最少原则，以达到工厂经济效益的最大化。
模型建立
此题总体思路为建立一个非线性规划模型，通过题目要求条件对目标函数的控制，实现目标函数的最优解。
（1）穷举法：
利用穷举法，根据板材切割后余料不可能再生产产品的原则，穷举9种模式的合理的生产模式。
如下表所示
表1切割模式
产品 模式
1
2
3
4
5
6
A 1 1 1 0 0 0
B 2 1 0 5 4 0 C
1
3
1
8
（2）非线性规划 首先确立目标函数
654321x x x x x x z +++++=
由于采用原料使用量最少原则，因此只需将各种模式下使用原材料的数量加
和得到目标函数Z ，并求解其最小值。
再确立目标函数的各项约束条件：
8321≥++x x x
图表中所给模式当中，有模式1、2、3能切割A 型产品，并且A 型产品数量不能小于订单需求。
135421≥+++x x x x
图表中所给模式当中，有模式1、2、4、5能切割B 型产品，并且B 型产品数量不能小于订单需求。
156532≥+++x x x x
图表中所给模式当中，有模式2、3、5、6能切割C 型产品，并且C 型产品数量不能订单需求。
4.模型求解
编写LINGO 软件程序，利用其中的数学规划功能求解该问题。
（1）确立目标函数 （2）编写约束条件 控制求解中的整数问题【2】
min =x1+x2+x3+x4+x5+x6; x1+x2+x3>=8; x1+x2+x4+x5>=13; x2+x3+x5+x6>=15;
@gin (x1);@gin (x2);@gin (x3); @gin (x4);@gin (x5);@gin (x6);
求解结果
Global optimal solution found.
Objective value: 15.00000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 4
Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 1.000000 X2 15.00000 1.000000
X3 0.000000 1.000000
X4 0.000000 1.000000
X5 0.000000 1.000000
X6 0.000000 1.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 15.00000 -1.000000
2 7.000000 0.000000
3 2.000000 0.000000
4 0.000000 0.000000
由计算结果知，最少使用15块大金属板，生产模式为：15块大金属板均采用模式2。
6.实验结果分析与检验
由运算结果可知，将15块金属板材用模式2进行切割，最终可得：15块A 型板，15块B型板，15块C型板，虽然部分产品型号超过了订单需求，而使超过需求的部分成为废料，但如此规划切割模式，仍然能使所用大金属板的数量达到最小。
在实际生产当中，成型的板材废料比切割过程中出现的边角废料的可利用率更高。
因此，该模型求解结果依然具有较强的现实意义。
7.模型的优缺点
模型的优点即，在建立过程中，充分考虑了在解决此问题当中的实际意义，确立了以所用原料最少的目标函数，使模型的大体方向正确，利于解决实际问题。
模型的缺点为，对于一个二维的非线性规划问题，如果一点涉及的规划条件复杂化，很难采用穷举法将所有可能的情况全部举例说明，而且可能遗漏部分需要讨论的情况。
因此，对待更加复杂的非线性规划问题，应该采用模型约束条件来限制目标函数。
8.参考文献
【1】百度文库板材切割LINGO求解
/link?url=7-ozqimXAPux2ORcBgKmpXhT3RglvBBF42Y 4BwNOhBqqkS154BtK-agYNfM3HS13_IQRN7TTRjcut6CpFreaAn_XkglmTMe-N qdnuy7qJri
【2】三分钟速成LINGO
8.附录
源程序如下：
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;
x1+x2+x3>=8;
x1+x2+x4+x5>=13;
x2+x3+x5+x6>=15;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);
@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);。