专题四 三角函数、解三角形、平面向量测试题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x )＝lgsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的一个增区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，7π8B.⎝⎛⎭⎪⎫7π8，9π8C.⎝⎛⎭⎪⎫5π8，7π8 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8，－3π8解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x >0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4<0，∴π＋2k π<2x －π4<2π＋2k π，k ∈Z ；又f (x )＝lgsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的增区间即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 在定义域内的增区间，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在定义域内的减区间，故π＋2k π<2x －π4<3π2＋2k π，k ∈Z .化简得5π8＋k π<x <7π8＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，5π8<x <7π8，故选C. 答案 C2．若函数f (x )＝sin ax ＋3cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A ．(－13，0)B ．(－π3，0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0 D ．(0,0)解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π3(a >0)，∵T ＝2πa ＝1，∴a ＝2π，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3，由2πx ＋π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k 2－16，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝13，故⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0是其一个对称中心，故选C.答案 C3．已知函数f (x )＝a sin x ＋a cos x (a <0)的定义域为[0，π]，最大值为4，则a 的值为( ) A ．－ 3 B ．－2 2 C ．－ 2D ．－4解析 f (x )＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ∈[0，π]时，x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，由于a <0，故2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[2a ，－a ]，即f (x )的最大值为－a ，∴－a ＝4，即a ＝－4.故选D.答案 D4．将函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0,0<φ<π)的图象向右平移2π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x －21π22＋1B ．f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋21π22＋12C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫1112x ＋21π22－12D ．f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋5π22＋12解析 图象平移之前与平移之后的A ，ω，k 都是相同的，由平移之后的图象可知2A ＝3，∴A ＝32，k ＝12；T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－π4＝2πω，∴ω＝1211.设平移后的函数解析式为g (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋φ1＋12，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2代入，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π11＋φ1＝1，∴φ1＝2k π＋5π22，k ∈Z ，取k ＝0，则φ1＝5π22，故g (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋5π22＋12.将其图象向左平移2π3个单位，得f (x )的解析式为f (x )＝32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1211⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋5π22＋12，即f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋21π22＋12.故选B.答案 B5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上都不对解析 由正弦定理，得sin B ＝143×42×32＝22，∴B ＝45°或135°，又a >b ，∴A >B ，∴B ＝45°.故选C.答案 C6．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形解析 ∵cos 2A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ， ∴1＋b 2＋c 2－a 22bc ＝b ＋cc，化简得a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 是直角三角形．故选B. 答案 B7．在△ABC 中，若角A ，B ，C 成公差大于0的等差数列，则cos 2A ＋cos 2C 的最大值为( ) A.12 B.32 C ．2D ．不存在解析 ∵角A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ， 又A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°，A ＋C ＝120°. cos 2A ＋cos 2C ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2C 2＝1＋12(cos2A ＋cos2C )＝1＋12[cos(240°－2C )＋cos2C ]＝1＋12cos(2C ＋60°)．∵60°<C <120°，∴180°<2C ＋60°<300°，∴12<1＋12cos(2C ＋60°)<54，即cos 2A ＋cos 2C 的最大值不存在，故选D. 答案 D8．关于x 的方程cos2x ＋sin2x ＝2k 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内有两个不同的实数解，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，22 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，22 解析 由cos2x ＋sin2x ＝2k ，得k ＝12(cos2x ＋sin2x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4， ∴－12<22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22.数形结合可知，当12<k <22时，方程有两个不同的实数解．故选A.答案 A9．(2012·浙江)设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |解析 选项A 错，若|a ＋b |＝|a |－|b |，则有a 与b 方向相反，且有|a |≥|b |；由此可得选项B 中的结论也是错误的；选项C 是正确的，选项D 中，若λ>0则a ，b 同向，故错误．答案 C10．(2012·湖南)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( ) A. 3 B.7 C ．2 2D.23解析 在△ABC 中，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则c ＝2，b ＝3，AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠B )＝－ac cos B ＝1，得a cos B ＝－12.由余弦定理得：a cos B ＝a ×a 2＋22－322×a ×2＝a 2－52×2＝－12，解得a ＝BC ＝ 3.答案 A11．(2012·辽宁)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b解析 因为|a －b |＝|a ＋b |，由向量的加法和减法法则可知以a ，b 为邻边的平行四边形对角线相等，故该平行四边形是一个矩形，所以a ⊥b .也可直接等式两边平方化简得a ·b ＝0，从而a ⊥b .答案 B12.(2012·广东)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α ·β＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ·b 和b ·a 都在集合{n 2|n ∈Z }中，则a ·b ＝( )A.12 B ．1 C.32D.52解析 解法一：b ○a ＝|a ||b |cos θ|a |2＝|b ||a |cos θ，因θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，cos θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，又|a |≥|b |>0，所以b ○a <1，又b ○a ∈{n 2|n ∈Z }，故b ○a ＝12，|b ||a |cos θ＝12，|b ||a |＝12cos θ，a ○b ＝|a ||b |cos θ＝2cos 2θ，又因cos θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，所以a ○b ∈(1,2)，又a ○b ∈{n 2|n ∈Z }，所以a ○b ＝32.解法二(特殊值法)：取|a |＝3，|b |＝1，θ＝π6，则a ·b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝32，b ·a ＝b ·a a ·a ＝|a ||b |cos θ|a |2＝12，都在{n2|n ∈Z }中． 答案 C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上． 13.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析 在△ABC 中，cos C ＝12BC AC ＝32，∴C ＝30°，由AD sin C ＝ACsin ∠ADC ，∴AD ＝ACsin ∠ADC·sin C ＝222·12＝ 2. 答案 214．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．解析 设三边长为a ，a ＋4，a ＋8，则120°角所对边长为a ＋8，由余弦定理得(a ＋8)2＝a 2＋(a ＋4)2－2a ·(a ＋4)·cos120°，化简得a 2－2a －24＝0，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)．∴三角形面积S ＝12a ·(a ＋4)·sin120°＝15 3.答案 15 315．(2011·课标)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 解析 由正弦定理，ABsin C ＝BC sin A ＝332＝2， 得AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ，则AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(180°－60°－A )＋4sin A ＝3cos A ＋5sin A ＝27sin(A ＋φ)，其中tan φ＝35(φ为锐角)，故当A ＋φ＝π2时，AB ＋2BC 取最大值27. 答案 2716．(2011·上海)在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米．解析如图，∠C ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，2sin45°＝ACsin60°.得AC ＝ 6. 答案6三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .解 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B. 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C ) 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A .因此sin Csin A ＝2.(2)由sin C sin A＝2得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14解得a ＝1，从而c ＝2又因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝154.因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154.18．(本小题满分12分)(2012·辽宁)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值． 解 (1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°， 解得B ＝60°，所以cos B ＝12.(2)解法一：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ， 所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34.解法二：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－ac2ac，解得a ＝c ，所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A ，求A 的值；(2)cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．解 (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A ，从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A ＝ 3.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2.所以sin C ＝cos A ＝13.20．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．解 (1)由题设并利用正弦定理，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝54ac ＝14解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B .因为0<cos B <1，得p 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，由题设知p >0，所以62<p < 2.21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C2.(1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值． 解 (1)由已知得sin C ＋sin C2＝1－cos C ，即sin C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos C 2＋1＝2sin 2C2，由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方得sin C ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12>0，得π4<C 2<π2，即π2<C <π，由sin C ＝34，得cos C ＝－74， 由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，得(a －2)2＋(b －2)2＝0，得a ＝2，b ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，所以c ＝7＋1. 22．(本小题满分14分)(2012·黑龙江省哈六中一模)攀岩运动是一项刺激而危险的运动，如图(1)在某次攀岩活动中，两名运动员在如图所示位置，为确保运动员的安全，地面救援者应时刻注意两人离地面的距离，以备发生危险时进行及时救援．为了方便测量和计算，现如图(2)A ，C 分别为两名攀岩者所在位置，B 为山的拐角处，且斜坡AB 的坡角为θ，D 为山脚，某人在E 处测得A ，B ，C 的仰角分别为α，β，γ，ED ＝a .(1)求：BD 间的距离及CD 间的距离； (2)求证：在A 处攀岩者距地面的距离h ＝a sin αsin θ＋βcos βsin α＋θ.解 (1)根据题意得∠CED ＝γ，∠BED ＝β，∠AED ＝α. 在直角三角形CED 中， tan γ＝CD DE，CD ＝a tan γ， 在直角三角形BED 中，tan β＝BD DE，BD ＝a tan β. (2)证明：易得AE ＝hsin α，BE ＝acos β，在△ABE 中，∠AEB ＝α－β，∠EAB ＝π－(α＋θ)， 正弦定理BE sin ∠EAB ＝AEsin ∠ABE ，代入整理：h ＝a sin αsin θ＋βcos βsin α＋θ。