ak 0
－T/2
f (t)
T/2
t
（3）奇谐波函数
T f (t ) f (t ) 2
a2 k b2 k 0
T/2
T
t
例1 解
周期性方波信号的分解 图示矩形波电流在一个周期内 的表达式为：
iS
Im
Im iS (t ) 0
T 0 t 2 T t T 2
(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：
U 0 1.57 mV
5000 mV U1 2
12.47 89.2 mV U3 2
4.166 89.53 mV U5 2
u U 0 u1 u3 u5 1.57 5000 sin t 12.47 sin( 3t 89.2 )
1 1 6 1k 12 1C 10 1000 10 1 L 106 10 3 1k XL>>R
R
iS
C
u
L
( R jX L ) ( jX C ) X L X C L Z ( 1 ) 50k R j( X L X C ) R RC

高次谐波
f (t ) A0 Akm cos(k1t k )
k 1
也可表示成：
Akm cos(k1 t k ) ak cos k1 t bk sin k1 t
f (t ) a0 [ak cos k 1 t bk sin k 1t ]
周期性方波波形分解
直流分量
基波
t
t
三次谐波 五次谐波 七次谐波
t
直流分量+基波
直流分量 基波 直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
等效电源
iS
Im
t
T/2
T
IS0
is1 is 3 is 5
ห้องสมุดไป่ตู้
I m 2I m 1 1 iS (sin t sin 3t sin 5 t ) 2 3 5

4.166 sin( 5t 89.53 ) mV
例2
π 已 知 : u 30 120 cos 1000t 60 cos(2000t ) V. 4 求图示电路中各表读数(有效值)及电路吸收的功率。
L1 A1 C1 40mH A2 25F V V11
30 d
c
L2
V2 10mH A3
第13章 非正弦周期信号激励下的 稳态电路分析
重点
1.周期函数分解为付里叶级数 2.非正弦周期函数的有效值和平均功率 3.非正弦周期电流电路的计算
13.1
非正弦周期信号
生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周 期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技 术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。 非正弦周期交流信号的特点 (1) 不是正弦波 (2) 按周期规律变化
100 sin 3 106 t 3
（2） 对各种频率的谐波分量单独计算： （a) 直流分量 IS0 作用
I S 0 78.5A
电容断路，电感短路:
R
IS0
u0
U 0 RI S 0 20 78 .5 106 1.57 mV
（b)基波作用 i s1 100 sin 106 t
结论
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
13.4
1. 计算步骤
非正弦周期交流电路的计算
（1） 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开
成若干种频率的谐波信号；
（2） 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号
分别应用相量法计算；
（注意:交流各谐波的 XL、XC不同，对直流C 相当于 开路、L相于短路。） （3） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
k p
2. 非正弦周期函数的有效值
若
i ( t ) I 0 I km cos( kt k )
k 1

则有效值:
I
1 T 1 T

T
0
i 2 t d ( t ) I 0 I km coskt k d ( t ) k 1
2
T
0
利用三角函数的正交性得：
I
I
2 0 k 1

I
2 km
2
I
结论
I I I
2 0 2 1 2 2
周期函数的有效值为直流分量及各次谐波 分量有效值平方和的方根。
3. 非正弦周期函数的平均值
若
i ( t ) I 0 I k cos( kt k )
Z (1 ) 50KΩ
i s1 100 sin 106 t μ A
100 10 6 5000 I Z ( ） U1 50 mV 1 1 2 2 (c)三次谐波作用 i 100 sin 3 106 t s3 3 1 1
31C

3 10 1000 10
2. 计算举例 例1 方波信号激励的电路。求u, 已知：
R 20、 L 1mH 、C 1000pF I m 157μ A、 T 6.28S
R
iS
iS
Im
C
u
L
解 （1）已知方波信号的展开式为：
Im 2Im 1 iS (sin t sin 3t 2 3 1 sin 5t ) 5
C2 25F
a
+
u
_
b
解
i a +
L1 40mH iC1 C1 25F 30 c d
L2 10mH iL2 C2 25F
u
_ b
(1) u0=30V作用于电路，L1、 L2 短路， C1 、 C2开路。 L1 L2 30 iL20 iC10 c d C2 C1 i
0
a
+
u0
_ b
i0= iL20 = u0/R =30/30=1A, iC10=0,
uad0= ucb0 = u0 =30V
(2) u1=120cos1000t V作用
k 1
1 P T


T
0
u idt
利用三角函数的正交性，得：
P U 0 I 0 U k I k cos k P0 P1 P2 ......
k 1
( k uk ik )
P U 0 I 0 U1 I1 cos 1 U 2 I 2 cos 2
f ( t ) f ( t kT )
例1
半波整流电路的输出信号
例2
示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波
例3
脉冲电路中的脉冲信号
T
t
例4 交直流共存电路 +V
Es
13.2 周期函数分解为付里叶级数
周期函数展开成付里叶级数： 直流分量 基波（和原 函数同频） 二次谐波 （2倍频）
f (t ) A0 A1m cos(1t 1 ) A2m cos(21t 2 ) Anm cos(n1t n )

0
bk

1
2
0
f (t ) sin k 1 td ( 1 t )
求出A0、ak、bk便可得到原函数f(t)的展开式。
利用函数的对称性可使系数的确定简化
f(t) （1）偶函数
f (t ) f ( t )
（2）奇函数
bk 0
－T/2
f(t)
T/2
t
f (t ) f (t )
f(t)
(4) 余弦奇次分量。
O T/4
T/2
t
T/2 T/4
O T/4
T/2
t
13.3 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
（1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。 k整数

2
0
sin ktd (t ) 0

2
0
cos ktd (t ) 0
（2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
k 1

则其平均值为：
I AV
1 T

T
0
i (t )dt I 0
正弦量的平均值为0
4. 非正弦周期交流电路的平均功率
u( t ) U 0 U km cos( kt uk )
i ( t ) I 0 I km cos( kt ik )
k 1

IS0
is1
is3
is5
Akm
iS
Im
矩形波的频谱图
t T/2 T
0

3
5
7
I m 2I m 1 1 iS (sin t sin 3t sin 5 t ) 2 3 5
例2
给定函数 f(t)的部分波形如图所示。为使f(t) 的傅立叶级数中只包含如下的分量：
f(t)
I 5m
2 2 3.14 10 6 rad/s T 6.28 10 6
1 I 1m 20μA 5
电流源各频率的谐波分量为：
I S 0 78.5
is 3
A
A
i s1 100 sin 106 t A
100 is5 sin 5 106 t A 5

ak
2


2
0
i S (t ) cos kt d (t )

0
2Im

1 sin kt k
2 K