湖北省黄冈中学2012年秋季高一数学期末考试试题命题：钟春林 审题：汤彩仙一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．）1.若2a = ，14b = ，a 与b 的夹角为30，则a b ⋅ 等于（ ）A B C ．14D ．42.函数1sin y x =+，(0,2)x π∈的图像与直线32y =的交点有（ ） A ．1个B ． 2个C ．3个D ．0个3. 函数12cos2y x π=-（）的最小值、最大值和周期分别是（ ）A ．－1，3，4B ．－1，1，2C ．0，3，4D ．0，1，24.三个数20.90.9,ln0.9,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A.b c a <<.B.c b a <<C.c a b << D ．a c b <<5. 对于向量,,a b c和实数λ，下列命题中正确的命题是（ ）A ．若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =B ．若0a λ= ，则0λ=或0a =C ．若22a b = ，则a b = 或a b =-D ．若a b a c ⋅=⋅ ，则b c =6. 如果函数3cos(2)y x ϕ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么ϕ的可能值是（ ） A ．3π B ．4π C ． 6πD ．56π7. 若20,AB BC AB ABC ⋅+=∆ 则是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形8. 如果(cos )sin3f x x =，那么(sin )f x 等于（ ） A ．sin 3xB ．sin 3x -C ．cos3xD ．cos3x -9. 在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+ ，，则λ=（ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-10.函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)A 、B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数的一条对称轴方程为( ) A ．2x π=B ．2x π=C ．1x =D ．2x =二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．)11.函数siny =的值域是 .12. 已知(0,)θπ∈，1cos 3θ=，则tan θ= . 13.已知向量(1,),(1,)a n b n ==-，若2a b - 与b 垂直，则a = .14.函数1()f x x=的定义域为 . 15.下列命题①若a 、b 都是单位向量，则a b = ；②终边在坐标轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈； ③若a 、b 与c 是三个非零向量，则()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ；④正切函数在定义域上单调递增；⑤向量b (0)b ≠ 与a 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b a λ= 成立.则错误．．的命题的序号是 . 三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)16. （本题满分12分）已知向量(1,2)a = ，(,1)b x =，2u a b =+ ，2v a b =-（1）当//u v 时，求x 的值； （2）当u v ⊥时，求x 的值.已知3sin()cos(2)sin()2()3cos()cos()2f ππαπαααππαα---+=---+（1）化简()f α； （2）若α是第三象限角，且31cos()25πα-=，求()f α的值.18.（本题满分12分）已知全集U R =，{}|11A x x =-≥，3|02x B x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，求： （1）A B ；（2）()()U UA B u u 痧.19. （本题满分12分）已知向量(sin ,1)a x = ，3(sin ,cos )2b x x =（1）当3x π=时，求a 与b 的夹角θ的余弦值；（2）若,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x a b =⋅ 的最大值和最小值.已知函数()sin()f x x b ωϕ=+-(0,0)ωϕπ><<的图像两相邻对称轴之间的距离是2π，若将()f x 的图像先向右平移6π()g x 为奇函数. （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调区间；（3）若对任意0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2()(2)()20f x m f x m -+++≤恒成立，求实数m 的取值范围.21. （本题满分14分）对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，那么称函数()f x 为理想函数．(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；(2) 判断函数()21xg x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明；(3) 若函数()f x 为理想函数，假定存在[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证：00()f x x =．湖北省黄冈中学2012年秋季高一数学期末考试参考答案1—5 BBACB 6—10 DBDAC11. []1,1- 12.13. 2 14. [4,0)(0,1)- 15.①③④⑤16. 【解析】2(12,4)u a b x =+=+ ，2(2,3)v a b x =-=-（1）当//u v 时，则3(12)4(2)x x +=-，得12x =（2）当u v ⊥ 时，则(12)(2)120x x +-+=，解得722x =-或.17.（本题满分12分）【解析】（1）3sin()cos(2)sin()2()3cos()cos()2f ππαπαααππαα---+=---+sin cos sin()2cos cos()2παααπαα-=- cos sin cos sin αααα-==-；（2） 31cos()cos()sin 225ππααα-=+=-=，∴1sin 5α=- 又α是第三象限角，则cos 5α==-，∴()5f α=. 18.（本题满分12分）【解析】(1)Ａ＝｛ｘ｜ｘ－１≥１或x －1≤－1｝=｛x ｜x ≥2或x ≤0｝B =｛x ｜⎩⎨⎧≠-≥--020)2)(3(x x x ｝=｛x ｜x ≥3或x ＜2}∴A ∩B =｛x ｜x ≥2或x ≤0｝∩｛x ｜x ≥3或x ＜2}=｛x ｜x ≥3或x ≤0｝． (2) ∵U =R ，∴ðU A =｛x ｜0＜x ＜2}，ðU B =｛x ｜2≤x ＜3}∴(ðU A )∩(ðU B )=｛x ｜0＜x ＜2}∩｛x ｜2≤x ＜3}=∅．19. （本题满分12分）【解析】（1）3)cos θ⋅==（2）2325()(cos )416f x a b x =⋅=--+ ,又,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos x ⎡∈⎢⎣⎦当cos 0x =时，有min ()1f x =； 当3cos 4x =时，有max 25()16f x =. 20. （本题满分13分） 【解析】（1）2=22ππω⨯，∴=2ω ∴()s i n (2)f x x b ϕ=+-又()sin[2()]6g x x b πϕ=-+-0ϕπ<<，则3πϕ=，b =故()sin(2)3f x x π=+-（2）增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）整理可得1()1()1m f x f x ≤+--，又1()1f x -≤-≤则11()12()13f x f x --≤+-≤--，故m ≤，即m 取值范围是1,2⎛---∞ ⎝⎦.21. （本题满分14分）【解析】（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤⇒+≥f f f f ．又由条件①0)0(≥f ，故0)0(=f ．（2）显然12)(-=xx g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ；也满足条件②1)1(=g ．若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则)]12()12[(12)]()([)(21212121-+---=+-++x x x x x g x g x x g 0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ，即满足条件③，故)(x g 是理想函数．（3）由条件③知，任给m 、∈n [0，1]，当n m <时，则∈-m n [0，1]，)()()()()(m f m f m n f m m n f n f ≥+-≥+-=∴若)(00x f x <，则000)]([)(x x f f x f =≤，前后矛盾； 若)(00x f x >，则000)]([)(x x f f x f =≥，前后矛盾． 故)(00x f x =。