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必修二立体几何经典证明题

B 1C BADC 1A 1必修二立体几何经典证明试题1. 如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=12AA 1,D 是棱AA 1的中点(I)证明:平面BDC 1⊥平面BDC(Ⅱ)平面BDC 1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.1. 【解析】(Ⅰ)由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ,1CC AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ⊂面11ACC A ,∴1DC BC ⊥,由题设知01145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,即1DC DC ⊥,又∵DC BC C ⋂=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ⊂面1BDC , ∴面BDC ⊥面1BDC ;(Ⅱ)设棱锥1B DACC -的体积为1V ,AC =1,由题意得,1V =1121132+⨯⨯⨯=12,由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1,∴11():V V V -=1:1, ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1.2. 如图5所示,在四棱锥P ABCD -中,AB ⊥平面PAD ,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点,F 是CD 上的点且12DF AB =,PH 为△PAD 中AD 边上的高. (1)证明:PH ⊥平面ABCD ;(2)若1PH =,2AD =1FC =,求三棱锥E BCF -的体积;(3)证明:EF ⊥平面PAB .【解析】(1)证明:因为AB ⊥平面PAD ,所以PH AB ⊥。

因为PH 为△PAD 中AD 边上的高,所以PH AD ⊥。

因为AB AD A =,所以PH ⊥平面ABCD 。

(2)连结BH ,取BH 中点G ,连结EG 。

因为E 是PB 的中点,所以//EG PH 。

因为PH ⊥平面ABCD 所以EG ⊥平面ABCD 。

则1122EG PH ==, 111332E BCF BCF V S EG FC AD EG -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=212。

(3)证明:取PA 中点M ,连结MD ,ME 。

因为E 是PB 的中点,所以1//2ME AB =。

因为1//2DF AB =,所以//ME DF =,所以四边形MEDF 是平行四边形,所以//EF MD 。

因为PD AD =,所以MD PA ⊥。

因为AB ⊥平面PAD ,所以MD AB ⊥。

因为PA AB A =,所以MD ⊥平面PAB ,所以EF ⊥平面PAB 。

3. 如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,1111A B AC =,D E ,分别是棱1BC CC ,上的点(点D 不同于点C ),且AD DE F ⊥,为11B C 的中点.求证:(1)平面ADE ⊥平面11BCC B ; (2)直线1//A F 平面ADE .【答案】证明:(1)∵111ABC A B C -是直三棱柱,∴1CC ⊥平面ABC 。

又∵AD ⊂平面ABC ,∴1CC AD ⊥。

又∵1AD DE CC DE ⊥⊂,,平面111BCC B CC DE E =,,∴AD ⊥平面11BCC B 。

又∵AD ⊂平面ADE ,∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。

(2)∵1111A B AC =,F 为11B C 的中点,∴111A F B C ⊥。

又∵1CC ⊥平面111A B C ,且1A F ⊂平面111A B C ,∴11CC A F ⊥。

又∵111 CC B C ⊂,平面11BCC B ,1111CC B C C =,∴1A F ⊥平面111A B C 。

由(1)知,AD ⊥平面11BCC B ,∴1A F ∥AD 。

又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ,∴直线1//A F 平面ADE4. 如图,四棱锥P —ABCD 中,ABCD 为矩形,△PAD 为等腰直角三角形,∠APD=90°,面PAD ⊥面ABCD ,且AB=1,AD=2,E 、F 分别为PC 和BD 的中点.(1)证明:EF ∥面PAD ; (2)证明:面PDC ⊥面PAD ; (3)求四棱锥P —ABCD 的体积.如图,连接AC ,∵ABCD 为矩形且F 是BD 的中点,∴AC 必经过F1分又E 是PC 的中点,所以,EF ∥AP2分∵EF 在面PAD 外,PA 在面内,∴EF ∥面PAD(2)∵面PAD ⊥面ABCD ,CD ⊥AD ,面PAD面ABCD=AD ,∴CD ⊥面PAD ,又AP ⊂面PAD ,∴AP ⊥CD又∵AP ⊥PD ,PD 和CD 是相交直线,AP ⊥面PCD又AD ⊂面PAD ,所以,面PDC ⊥面PADA BDCP MFGEDACBEF(3)取AD 中点为O ,连接PO ,因为面PAD ⊥面ABCD 及△PAD 为等腰直角三角形,所以PO ⊥面ABCD ,即PO 为四棱锥P —ABCD 的高∵AD=2,∴PO=1,所以四棱锥P —ABCD 的体积1233V PO AB AD =⋅⋅=5. 在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形, MA ⊥平面ABCD ,//PD MA ,E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点,且2AD PD MA ==.(I )求证:平面EFG ⊥平面PDC ;(II )求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积 之比.【解析】(I )证明:由已知MA 平面ABCD ,PD ∥MA , 所以 PD ∈平面ABCD 又 BC ∈ 平面ABCD ,因为 四边形ABCD 为正方形,所以 PD ⊥ BC又 PD ∩DC=D ,因此 BC ⊥平面PDC在△PBC 中,因为G 平分为PC 的中点,所以 GF ∥BC 因此 GF ⊥平面PDC又 GF ∈平面EFG , 所以 平面EFG ⊥平面PDC.(Ⅱ )解:因为PD ⊥平面ABCD,四边形ABCD 为正方形,不妨设MA=1, 则 PD=AD=2,AB CD所以 V p-ABCD =1/3S 正方形ABCD ,PD=8/3 由于 DA ⊥面MAB 的距离所以 DA 即为点P 到平面MAB 的距离,三棱锥 Vp-MAB=1/3×1/2×1×2×2=2/3,所以 Vp-MAB :Vp-ABCD=1:4。

6. 如图,正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。

EF//AC ,AB=2,CE=EF=1(Ⅰ)求证:AF//平面BDE ; (Ⅱ)求证:CF ⊥平面BDF;证明:(Ⅰ)设AC 于BD 交于点G 。

因为EF ∥AG,且EF=1,AG=12AG=1 所以四边形AGE F 为平行四边形 所以AF ∥EG因为EG ⊂平面BDE,AF ⊄平面BDE, 所以AF ∥平面BDE(Ⅱ)连接FG 。

因为EF ∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CE FG 为菱形。

所以CF ⊥EG.因为四边形ABCD 为正方形,所以BD ⊥AC.又因为平面ACEF ⊥平面ABCD,且平面ACEF ∩平面ABCD=AC,所HABD C FE 以BD ⊥平面ACEF.所以CF ⊥BD.又BD ∩EG=G,所以CF ⊥平面BDE.7.如图,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是正方形,AB=2EF=2,EF ∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H 为BC 的中点,(Ⅰ)求证:FH ∥平面EDB; (Ⅱ)求证:AC ⊥平面EDB;(Ⅲ)求四面体B —DEF 的体积;(1),1//,21//,2////AC BD G G AC EG GH H BC GH AB EF AB EFGH EG FH EG EDB FH EDB ∴∴⊂∴证:设与交于点,则为的中点,连,由于为的中点,故又四边形为平行四边形,而平面,平面0,.,..//,,90,.FB BFG FH FH BF FG H BC FH BC FH ABCD FH AC FH EG AC EG AC BD EG BD G AC EDBFB BFC BF CDEF BF B DEF BC A ∏⊥∴⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥=∴⊥∴⊥∴⊥∴⊥⊥⋂=∴⊥⊥∠=∴⊥∴-=()证:由四边形ABCD 为正方形,有AB BC 。

又EF//AB ,EF BC 。

而EF ,EF 平面EF AB 又为的中点,。

平面又,又,平面(Ⅲ)解:EF 平面为四面体的高,又2,2111**1*2*2.323B DEF B BF FC V BF-=∴====∴8. 如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点,点D 在11B C 上,11A D B C ⊥。

求证:(1)EF ∥平面ABC ;(2)平面1A FD ⊥平面11BB C C .图 5DGBFCAE图 4GEF ABCD9.如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中22BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ;(2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.答案】(1)在等边三角形ABC 中,AD AE =AD AEDB EC ∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中也成立,//DE BC ∴ ,DE ⊄平面BCF , BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF ;(2)在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥①,12BF CF ==.在三棱锥A BCF -中,2BC =,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥平面;(3)由(1)可知//GE CF ,结合(2)可得GE DFG ⊥平面.11111131332323323324F DEG E DFGV V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭10.如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证:(1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA 垂直于这个平面的交线AD所以PA 垂直底面ABCD.(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E 为CD 的中点所以AB∥DE,且AB=DE 所以ABED 为平行四边形,所以BE∥AD,又因为BE ⊄平面PAD,AD ⊂平面PAD 所以BE∥平面PAD.(III)因为AB⊥AD,而且ABED 为平行四边形所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD, 所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD 所以CD⊥PD,因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.11. (2013年山东卷)如图,四棱锥P ABCD -中,,AB AC AB PA ⊥⊥,,2AB CD AB CD =∥,,,,,E F G M N 分别为,,,,PB AB BC PD PC 的中点(Ⅰ)求证:CE PAD ∥平面; (Ⅱ)求证:EFG EMN ⊥平面平面。

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