一、确定所有互不同构的18阶Abel 群设A 为18阶Abel 群，21823A ==⨯。
故A 的Sylow 子群的阶分别为22A =，233A =。
A 的初等因子共有以下2种可能：{2,3,3}，{2,9}。
所以18阶Abel 群共有2个：223⊕Z Z ，29⊕Z Z 。
{2,3,3}化为不变因子为{3,6}，故22336⊕⊕ Z Z Z Z 。
{2,9}化为不变因子为{18}，故2918⊕≅Z Z Z 。
所以互不同构的18阶Abel 群共有2个：36⊕Z Z ，18Z 。
二、确定所有互不同构的20阶Abel 群设B 为20阶Abel 群，22025B ==⨯。
故B 的Sylow 子群的阶分别为222B =，55B =。
B 的初等因子共有以下2种可能：{2,2,5}，{4,5}。
所以20阶Abel 群共有2个：225⊕Z Z ，45⊕Z Z 。
{2,2,5}化为不变因子为{2,10}，故225210⊕⊕ Z Z Z Z 。
{4,5}化为不变因子为{20}，故4520⊕ Z Z Z 。
所以互不同构的20阶Abel 群共有2个：210⊕Z Z ，20Z 。
三、确定所有互不同构的18阶非Abel 群记G 为18阶非Abel 群，将G 的3Sylow -子群记为S 。
1）若S a =，则91a =。
再取2阶元b G ∈，即有,G a b =。
现设1d bab a -=，其中由于G 为非Abel 群，故1d ≠。
因为2111122()()()d d d d d a a bab ba b b bab b b ab a -----======，故21(mod9)d ≡。
200(m o d 9)≡ 224(m o d 9)≡ 230(m o d 9)≡ 247(m o d 9)≡ 257(m o d 9)≡ 260(m o d 9)≡ 274(m o d 9)≡ 281(m o d 9)≡ 故得8d =，而81a a -=，故9219,|1,1,G a b a b ba a b D -==== 。
2）若S a ≠，则必有S a b =⨯，其中31a =，31b =。
同理，再取2阶元c G ∈，即有,,G a b c =。
现设111cac a b αβ-=，221cbc a b αβ-=。
其中12120,,,3ααββ≤<。
11111221111111()()()()()a c a c c c a c cc a b c c a cc b cc a c c b cαβαβαβ--------===== 21112211211112()()a b a b a b αβααββααβαβββ++==22222221111111()()()()()b c b c c c b c cc a b c c a cc b cc a c c b cαβαβαβ--------===== 21122221222212()()a b a b a b αβααββαααβαββ++==故212111222122121(mod3)()0(mod3)1(mod3)()0(mod3)ααββαβαββααβ⎧+≡+≡⎨+≡+≡⎩ 共有以下14组解：(1) 1212(,,,)(0,1,1,0)ααββ=，即1cac b -=，1cbc a -=。
(2) 1212(,,,)(0,2,2,0)ααββ=，即12cac b -=，12cbc a -=。
(3) 1212(,,,)(1,0,0,1)ααββ=，即1cac a -=，1cbc b -=。
（G 非Abel 群，舍去） (4) 1212(,,,)(1,0,0,2)ααββ=，即1cac a -=，12cbc b -=。
(5) 1212(,,,)(1,0,1,2)ααββ=，即1cac ab -=，12cbc b -=。
(6) 1212(,,,)(1,0,2,2)ααββ=，即12cac ab -=，12cbc b -=。
(7) 1212(,,,)(1,1,0,2)ααββ=，即1cac a -=，12cbc ab -=。
(8) 1212(,,,)(1,2,0,2)ααββ=，即1cac a -=，122cbc a b -=。
(9) 1212(,,,)(2,0,0,1)ααββ=，即12cac a -=，1cbc b -=。
(10) 1212(,,,)(2,0,0,2)ααββ=，即12cac a -=，12cbc b -=。
(11) 1212(,,,)(2,0,1,1)ααββ=，即12cac a b -=，1cbc b -=。
(12) 1212(,,,)(2,0,2,1)ααββ=，即122cac a b -=，1cbc b -=。
(13) 1212(,,,)(2,1,0,1)ααββ=，即12cac a -=，1cbc ab -=。
(14) 1212(,,,)(2,2,0,1)ααββ=，即12cac a -=，12cbc a b -=。
先证明：如果210,0αβ≠=，则实质上等同于210,0αβ=≠的一种情况。
证：若210,0αβ≠=，则11cac a α-=，221cbc a b αβ-=。
而由于ab ba =，故221cbc b a βα-=。
将a 记为b ，b 记为a 。
即得证。
从而(5)等同于(13)，(6)等同于(14)，(7)等同于(11)，(8)等同于(12)。
以下依次分析剩余各个情况：（取(4)作为典型代表） (1) 111()()()()()c ab c cac cbc b a ab ---===2112122()()()()()()c a b c c a c c b c b aa b a b---==== 将ab 看作新的a ，2ab 看作新的b 。
即(1)等同于(4)(2) 211212222()()()()()c ab c cac cb c b a ab ---===1112222()()()()()()c a b c c a c c b c b a a b a b---==== 将2ab 看作新的a ，ab 看作新的b 。
即(2)等同于(4)(5) 21121222()()()()()c ab c cac cb c ab b ab ---===将2ab 看作新的a 。
即(5)等同于(4)(6) 11122()()()()()c ab c cac cbc ab b ab ---===将ab 看作新的a 。
即(6)等同于(4)(7) 111222242()()()()()()c ab c cac cbc a ab a b a b ab ---=====将ab 看作新的b 。
即(7)等同于(4)(8) 21121222222()()()()()()c ab c cac cb c a a b a b ab ---====将2ab 看作新的b 。
即(8)等同于(4)(9) 将b 看作新的a ，a 看作新的b 。
即(9)等同于(4)故剩余的即为：33221,,|1,,,G a b c a b c ab ba ca ac cb b c =======332222,,|1,,,G ab c a b c a bb ac a a c c bb c======= 考察在9D 中的元素的阶数：（1阶元1个，2阶元9个，3阶元2个，9阶元6个）考察在1G 中的元素的阶数：（1阶元1个，2阶元3个，3阶元8个，6阶元6个）考察在2G 中的元素的阶数：（1阶元1个，2阶元9个，3阶元8个）综上所述，故互不同构的18阶非Abel 群共有如下3个：9219,|1,D a b a b ba a b -====33221,,|1,,,G a b c a b c ab ba ca ac cb b c ======= 332222,,|1,,,G a b c a b c ab ba ca a c cb b c =======四、确定所有互不同构的20阶非Abel 群记G 为20阶非Abel 群，将G 的唯一5Sylow -子群记为S ，S c =，其中51c =。
因此G 只有4个5阶元素。
由于[]:()G G C c 等于c 的共轭元的个数，从而[]:()124G G C c =或或。
1）若[]:()12G G C c =或，则()2010G C c =或，因此()G C c 中必有2阶元素d 。
（同教材63P ） 令a cd dc ==，a 是10阶元素，于是a 为G 的正规子群。
取b a ∉，2i b a =，1k bab a -=。
由于1bab -为10阶元素，故(,10)1k =。
若1k =，则ba ab =，即G 为Abel 群，舍去此种情况。
若3k =，则1bab a -3=，即ba a b 3=。
2211131921911i i i i ii b a b a b a b b a b a a b aa a a -+-++++=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=。
矛盾！若7k =，则17bab a -=，即7ba a b =。
221117149214911i i i i ii b ab a b a b b a b a a b aa a a -+-++++=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=。
矛盾！故9k =，即191bab a ba a b --=⇒=。
于是22111()i i i i a b bb b ba b bab a ----=====，从而21i a =，05i =或。
0i =时，102110,|1,1,G a b a b ba a b D -==== 。
5i =时，102511,|1,,G a b a b a ba a b -====。
2）若[]:()4G G C c =，则G 中所有元素均不为10阶元素。
故G 中不为5阶的元素必为2阶元。
故有9个2Sylow -子群，且每个均为Abel 群。
由于每个2Sylow -子群包含3个阶元，故存在2个2Sylow -子群有一个公共元（非1）。
假设这个元素为a ，()4G C a >，故()1020G C a =或。
故G 中必有4阶元素。
取一个5阶元a 和4阶元b 生成群G 。
设1k bab a -=，其中04k ≤≤，441131331k k b b ab ab b a ab b a b a ----=⇒=⇒=⇒=。
若0k =，则ba b =，从而1a =，与51a =矛盾！ 若1k =，则G 为Abel 群，矛盾！ 下记：5422,|1,1,G a b a b ba a b ====5433,|1,1,G ab a b b a a b ====5444,|1,1,G ab a b b a a b==== 考察在2G 中的元素的阶数：（1阶元1个，2阶元5个，4阶元10个，5阶元4个）考察在3G 中的元素的阶数：（1阶元1个，2阶元5个，4阶元10个，5阶元4个）考察在4G 中的元素的阶数：（1阶元1个，2阶元5个，4阶元10个，5阶元4个）从而234G G G ≅≅。