(1)“ ”适合结合律; (2)存在 e G ,使得
ae ea , a G ; (3)对于任意的 a G ,存在 bG ,使得
ab ba e , 则称 (G, ) 是一个群;不致混淆时,简称 G 是一个群.
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§2 群的概念
例 1 令 N , Z, Q , R 和C 依次表示正整数集、 整数集、有理数集、实数集和复数集.则 Z, Q ,R 和 C 关于加法分别构成交换群; N 关于加法不构成
群. Q \{0}, R \{0} 和C \{0}关于乘法分别构成交换
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§2 群的概念
设 G 是一个群, a G .由于“ ”适合结合律,因
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
第一章 群 论
2020/6/26
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目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
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§2 群的概念
定义 2.1 一个代数运算.若“ ”满足条件:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
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§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
群; Z \{0}关于乘法不构成群. N , Z, Q , R 和C 关于
乘法都不构成群.
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§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
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§2 群的概念
例 3 设V 是某个数域 P 上的向量空间.则V 关于向 量的加法构成交换群.
例 4 在上一节的例 4 中, K4 关于 K4 上的乘法“ ” 构成交换群.这个群称为 Llein 四元群.
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§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
显然, e1 e ,并且 (a1)1 a , a G . 群的概念常常表述为: 设 G 是一个非空集 合，“ ”是 G 上的一个代数运算.若“ ”适合结合 律, G 中有单位元并且 G 中每个元素都有逆元,则 称 (G, ) 是一个群.
§2 群的概念
当 (G, ) 是一个群时,我们就称 G 关于“ ”构成一 个群.
设 (G, ) 是一个群. 若“ ”适合交换律,则称 (G, ) 是交换群或 Abel 群. 若 G 是有限集,则称 (G, ) 是有限群.若 G 是无限集,则 称 (G, ) 是无限群.当 (G, ) 是有限群时,如 G 是由 n 个不同的 元素构成集合,我们就说群 (G, ) 的阶为 n ,记作 | G | n .当 (G, ) 是 无限 群时,我们就说群 (G, ) 的 阶为无 限 大,记作 |G|.
为了方便起见,这里约定:以下,如无具体说明,凡 是提到“群 G ”,总是指“群 (G, ) ”,并且在对 G 中 元素施行乘法运算时常常略去乘号“ ”,例如,将 a b 写成 ab .
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§2 群的概念
ab ba e .
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§2 群的概念
证明 根据定义,对于任意的 aG ,存在元素 bG ,使得
ab ba e . 为了阐明这样的 b 是唯一的,假设 b'G 也是这样的 元素,即 b' 满足
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
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§2 群的概念
对于命题 2.2 中所说的群 G 和元素 e ,我们称元 素 e 为群 G 的单位元.不致混淆时,简称 e 为 G 的单位 元.
命题 2.3 设 (G, ) 是一个群.那么,对于任意的 a G ,存在唯一的元素 bG ,使得
命 题 2.2 e G ,使得
设 G 是一个群.则存在唯一的一个元素 ae ea , a G .
证明 根据定义,存在 e G ,使得 ae ea a , a G .
为了阐明这样的 e 是唯一的,假设 e'G 也是这样的元素, 即 e' 满足
ae' e'a a , a G . 于是,我们有 e' ee' e .所以我们的命题成立.□