三次函数图象的切线问题专练
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
三次函数图象的切线问题专练
广西 王强芳
[问题]
一、 曲线在点P 处的切线方程
1 曲线33y x x =+在点(2,14)P --处的切线方程是 。
二、曲线经过点P 处的切线方程
2 已知曲线C ：3()2f x x x =-+，则经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程
是 。
三、点P 不在曲线上的切线方程
3 已知曲线C ：3()2f x x x =-+，试问：分别过点（1）(0,54)-，（2）(2,0)，
（3）16(,2)11
的曲线C 的切线有几条？如果是一条，写出切线的方向向量；如果是两条， 求两条切线之间的夹角；如果是三条，写出切线方程。
四、其它变形
4 已知曲线C ：32()32f x x x x a =-++的一条切线方程为2y x =，则实数a 的值 等于 。
5 斜率为3的直线与曲线C ：3y x =相切于P 点，并与曲线有另一个交点Q ，求P 、 Q 两点的坐标。
6 若方程330x x m --=有一个二重根，求方程的解集。
7 P 为曲线C ：3y x =上一动点，若曲线在该点处的切线与曲线有另一交点Q ，求PQ 的中点的轨迹方程。
[答案与提示]
1 解：由'2()33f x x =+，得'(2)15f -=，
所以所求的切线方程为1415(2)y x +=+，即1516y x =+。
2 错解：由'2()31f x x =-，得'(1)2k f ==，
所以所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =。
错因剖析：此处所求的切线只说经过P 点，而没说P 点一定是切点，于是切线的斜率 k 与'(1)f 不一定相等。
比如（如图）当02x π≤≤时，正弦曲线sin y x =在点P 处的切线
1l
2l P x
y o
只有一条：1l ；而经过点P 的切线却有两条：1l 与2l 。
正解：设经过点P （1，2）的直线与曲线C 相
切于点00(,)x y ，则由'2()31f x x =-，
得在点00(,)x y 处的斜率'200()31k f x x ==-， 有在点00(,)x y 处的切线的方程为 2000(31)()y y x x x -=--。
又因为点00(,)x y 与点P （1，2）均在曲线C 上，
有3000200022(31)(1)y x x y x x ⎧=-+⎪⎨-=--⎪⎩，消去0y 得320000(31)(1)x x x x -=--， 解得01x =或012x =-
，于是2k =或14
-， 所以所求切线方程为2y x =或1944y x =-+。
3 仿题2可得：
（1）经过点(0,54)-的切线只有一条，337841k =-，其方向向量为3(1,37841)-；
（2）经过点（2，0）的切线有两条，1k =-或26k =，其夹角为27arctan 25。
（3）经过点16(,2)11
的切线有三条，11k =或17185121k ±=，所求的切线方程为 1114y x =-或1718516()212111y x ±=
-+。
温磬提示：
1 解题步骤：若P 点在曲线上，但没有说明P 是切点，
（1）设出切点坐标；
（2）根据切点在曲线上，已知点在切线上，切点处的导数等于切线斜率这三个条件，列出三个方程，再解方程组；
（3）写出问题的结论。
2 过平面内任一点的三次函数图象的切线条数至少有一条，至多有三条，但到底有几条，要根据点的位置而定。
4 设切点坐标为00(,)x y ，则
32000032y x x x a =-++，又2002362x x =-+，002y x =得00x =或2。
再消去0y 得32003a x x =-+。
于是得0a =或4。
5 由'233k y x ===得1P x =±，切点为(1,1)或(1,1)--。
当切点为P (1,1)时，切线方程为32y x =-，得另一点Q 的坐标为Q (2,8)--； 当切点为P (1,1)--时，同理可得Q （2，8）。
6 此题转化为：若直线3y x m =+与曲线3
y x =相切，求m ，再解方程即可。
答案：{1,2}-或{1,2}-。
7 设PQ 的中点M 的坐标为(,)x y ，又300(,)P x x ，所以0'203x x k y x ===，
以P 为切点的切线方程为320003()y x x x x -=-，与3y x =联立，解得Q 点的坐标
为300(2,8)x x --，
则M 点的坐标为30017(,)22
x x --。
消去0x ，得中点M 的轨迹的方程为
（柯正摘录并改编自《中学数学教学参考》2005年9期）。