数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个选项正确。

1．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足()2i i i x y +=-，则i x y -=（）A ．1B ．2C ．3D ．52．已知集合{}2|40A x x x =∈-<N ，集合{}2|20B x x x a =++=， 若{}1,2,3,3A B =-，则A B =（）A ．{}1 B ．{}2C ．{}3D ．∅3．函数()()sin 2f x x ϕ=+图象向右平移π6个单位后所得图象关于原点对称，ϕ可以是（） A ．π6B ．π3C ．π4D ．2π34．A 地的天气预报显示，A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0—9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（） A ．14 B ．25 C ．710 D ．155．如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π6．《九章算术》是我国古代一部数学名著，某数学爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框图，其中(),MODm n 表示m 除以n 的余数，例如()7,31MOD =．若输入m 的值为8时，则输出i 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 7．已知235log log log 0x y z ==<，则2x、3y 、5z的大小排序为（ ） A ．235x y z << B ．325y x z << C ．523z x y << D ．532z y x<< 8．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，则下列命题中错误的是（） A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥ B ．若m α⊂，αβ∥，则m β∥ C ．若l αβ=，m α∥，m β∥，则m l ∥ D ．若m n ⊥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥9．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的离心率为2，其一条渐近线被圆()()2240x m y m -+=>截得的线段长为22，则实数m 的值为（）A ．3B ．1C 2D ．210．已知函数()31sin 31x x f x x x -=+++，若[]21x ∃∈-，，使得()()20f x x f x k ++-<成立，则实数k 的取值范围是（） A ．()1,-+∞ B ．()3,+∞ C ．()0,+∞ D ．(),1-∞-11．如图，过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A 、B 、C 点，令1AF BF λ=，2BC BFλ=，则当π3α=时，12λλ+的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．612．已知定义域为R的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，若1122a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22b f =--，11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知实数x ，y 满足条件23 00x y x y x y -≥+≤≥≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，则3x y +的最大值为__________． 14．已知3cos 5α=，3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则os 3πc α⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．15．在ABC △中，M 是BC 的中点，3AM =，点P 在AM 上，且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+的值为___________．16．已知ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 且6a =，4sin 5sin B C =，有以下四个命题：①ABC △的面积的最大值为40；②满足条件的ABC △不可能是直角三角形；③当2A C =时，ABC △的周长为15；④当2A C =时，若O 为ABC △的内心，则AOB △7．其中正确命题有__________（填写出所有正确命题的番号）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）数列{}n a 满足11a =，12n n a a λ+=+（λ为常数）． （1）试探究数列{}n a λ+是否为等比数列，并求n a ；（2）当1λ=时，求数列(){}nn aλ+的前n 项和n T ．18．（12分）为了弘扬民族文化，某中学举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示．（1）若该所中学共有2000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数； （2）①试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； ②若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人赠送一套国学经典学籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率．19．（12分）三棱柱111ABC A B C -中，M ，N ，O 分别为棱1AC ，AB ，11AC 的中点．（1）求证：直线MN ∥平面1AOB ； （2）若三棱柱111ABC A B C -的体积为103A MON -的体积．20．（12分）已知长度为32AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足2BP PA =，设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程； （2）过点()4,0且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，在x 轴上是否存在定点T ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数．若存在，求出定点T 的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-． （1）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围；（2）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．【坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：2 2x ty t=+=-⎧⎨⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：2sin ρθ=． （1）求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）记射线0,02πθαρα⎛⎫=≥<<⎪⎝⎭与直线l 和曲线C 的交点分别为点M 和点N （异于点O ），求ONOM的最大值． 23．【不等式选讲】 已知函数()1f x x =-．（1）解关于x 的不等式()21f x x ≥-；（2）若关于x 的不等式()21f x a x x <-++的解集非空，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题 DABDC BADDA CC 二、填空题 13. 4 14.34310- 15. 4- 16. ③④ 10.()f x 为奇函数，且()()22ln 331cos 031xxf x x ⋅'=++>+，函数()f x 在[]2,1x ∈-上递增，()()()()222f x x f x k f x x f k x x x k x +<--⇒+<-⇒+<-，即()2min2k x x >+，实数的取值范围是()1,-+∞．故选A ．11.设()11,A x y ，()22,B x y ， 1224162sin 603AB x x =++==︒，12103x x ∴+=，又21214p x x ==，可得13x =，213x =，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，则()()131=3113AF AE BFBDλ--===--，同理可得22BCBF λ==，125λλ∴+=12.设()()hx xf x =，当0x ＞时，()()()0h x f x x f x ''=+⋅＞，∴此时函数()h x 单调递增．111222a f h ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()22222b f f h =--==， ()()111ln ln ln ln 2ln 2222c f h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又12ln 22＞＞，b c a ∴＞＞，故选C ．三、解答题 17.（1）∵12n n a a λ+=+，∴()12n n a a λλ++=+，又11a =，所以当1λ=-时，10a λ+=，数列{}n a λ+不是等比数列． 此时10nn a a λ+=-=，即1n a =；当1λ≠-时，10a λ+≠，所以0n a λ+≠．所以数列{}n a λ+是以1λ+为首项，2为公比的等比数列．此时()112n n a λλ-+=+，即()112n n a λλ-=+-．（2）由（1）知21n na =-，所以()12n n n a n +=⨯，23222322n n T n =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯①，23412222322n n T n +=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯②，①-②得：23122222n n nT n +-=+++⋅⋅⋅+-⨯()11112122222(1)2212n n n n n n n n ++++-=-⨯=--⨯=---，所以()1122n n T n +=-+．18.（1）由直方图可知，样本中数据落在[]80,100的频率为020103+=...， 则估计全校这次考试中优秀生人数为200003600⨯=.． （2）①设样本数据的平均数为x ，则45005550156502750385029501725x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.......， 则估计所有参加考试的学生的平均成绩为72.5． ②由分层抽样知识可知，成绩在[)70,80，[)80,90，[]90,100间分别抽取了3人，2人，1人．记成绩在[)70,80的3人为a ，b ，c ，成绩在[)80,90的2人为d ，e ，成绩在[]90,100的1人为f ，记恰好抽中2名优秀生为A 事件，则从这6人中抽取3人的所有可能结果有()a b c ，，，()a b d ，，，()a b e ，，，()a b f ，，，()a c d ，，，()a c e ，，，()a c f ，，，()a d e ，，，()a d f ，，，()a e f ，，，()b c d ，，，()b c e ，，，()b c f ，，，()b d e ，，，()b d f ，，，()b e f ，，，()c d e ，，，()c d f ，，，()c e f ，，，()d e f ，，共20种，其中恰好抽中2名优秀生的结果有()a d e ，，， ()b d e ，，，()c d e ，，，()a d f ，，，()b d f ，，，()c d f ，，， ()a e f ，，，()b e f ，，，()c e f ，，共9种，则()920P A =． 19.（1）连1A B 交1AB 于点P ，连NP ，OP ．则1NP BB ∥，且112NP BB =，又1MO AA ∥，且112MO AA =∴MO NP ∥，且MO NP =，∴四边形MOPN 为平行四边形， ∴MN OP ∥，又MN ⊄平面1AOB ，OP ⊂平面1AOB ，∴MN ∥平面1AOB ． （2）由题意得11111111248A MON N AMO N AC O N C A ABC A A V V V V V -----====， ∵1BB ∥平面11AAC ，∴11111B C A AB C A A V V --=，∴11111113B C A A ABC A B C V V --==，∴18A MON V -== 20.（1）设(),Px y ，(),0A m ，()0,B n ，由于2BP PA =，所以()()(),2,22,2x y n m x y m x y -=--=--，即22 2x m x y n y =--=-⎧⎨⎩，所以3 23m x n y⎧=⎪⎨⎪=⎩，又AB =2218m n +=， 从而2299184x y +=，即曲线C 的方程为：22182x y +=． （2）由题意设直线l 的方程为：4x my =+，()11,Mx y ，()22,N x y ，由224 182x my x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得：()224880m y my +++=，所以()12212222848 4643240m y y m y y m m m ∆+=-+=+=⎧⎪⎪⎪⎨-+>⎪⎪⎪⎩， 故()121223284x x m y y m +=++=+，()2212121226484164m x x m y y m y y m -=+++=+，假设存在定点(),0Tt ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，则()()1212MT NT y y k k x t x t ⋅=--()1221212y y x x t x x t =-++()()2228844t m t =-+-， 当280t -=，且40t -≠时，MT NT k k ⋅为常数，解得t =±显然当t =时，常数为34+；当t =-34-，所以存在两个定点()10T，()20T -，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，当定点为()10T时，常数为34+；当定点为()20T -时，常数为34-．21. 解：（1）(),()1af x xg x a x''=+=+， ……………（2分） 当[1,3]x ∈时，2(1)()()()0a x a f x g x x++''⋅=≥恒成立，即2(1)()0a x a ++≥恒成立，∴21a a x>-⎧⎨≥-⎩在[1,3]x ∈时恒成立，或21a a x<-⎧⎨≤-⎩在[1,3]x ∈时恒成立，∵91x -≤≤-，∴1a >-或9a ≤- ………………（6分）（II ）21()ln (1)2F x x a x a x =+-+，()(1)()(1)a x a x F x x a x x--'=+-+=∵()F x 定义域是(0,)+∞，(1,]a e ∈，即1a >∴()F x 在(0,1)是增函数，在(1,)a 是减函数，在(,)a +∞是增函数 ∴当1x =时，()F x 取极大值1(1)2M F a ==--， 当xa =时，()F x 取极小值21()ln 2m F a a a aa ==--， ………………（8分）∵12,[1,]x x a ∈，∴12|()()|||F x F x M m M m -≤-=- ………………（10分）设211()ln 22G a M m a a a =-=--，则()ln 1G a a a '=--， ∴1[()]1G a a''=-，∵(1,]a e ∈，∴[()]0G a ''>∴()ln 1G a a a '=--在(1,]a e ∈是增函数，∴()(1)0G a G ''>=∴211()ln 22G a a a a =--在(1,]a e ∈也是增函数∴()()G a G e ≤，即2211(1)()1222e G a e e -≤--=-， 而22211(1)(31)1112222e e e ----=-<-=，∴()1G a M m =-< ∴当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． ………………（14分）22.（1）由题意得直线的普通方程为：4x y +=，所以其极坐标方程为：4sin cos ρθθ=+；由2sin ρθ=得：22sin ρρθ=，所以曲线的直角坐标方程为：2220xy y +-=．（2）由2sin ON α=，4sin cos OM αα=+，所以2sin sin cos 21sin 224π44ONOM αααα+⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，由于0π2α<<，所以当3π8α=时，ON OM取得最大值214．23.（1）{}|01x x x ≤≥或；（2）()1,-+∞．。