实验一随机序列的产生及数字特征估计一、实验目的1、学习和掌握随机数的产生方法。

2、实现随机序列的数字特征估计。

二、实验原理1、随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。

进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。

在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。

伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。

伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。

(0,1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。

(0,1)均匀分布指的是在[0,1]区间上的均匀分布，即U(0,1)。

实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0,1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：y0=1, y n= ky n−1(mod N)（1.1）⁄x n=y n N序列{x n}为产生的(0,1)均匀分布随机数。

下面给出了（1.1）式的3 组常用参数：①N = 1010，k = 7，周期≈5*10^7；②（IBM随机数发生器）N = 2^31，k = 2^16 + 3，周期≈5*10^8；③（ran0）N = 2^31 - 1，k = 7^5，周期≈2*10^9；由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。

定理1.1 若随机变量X具有连续分布函数F X(X)，而R为(0,1)均匀分布随机变量，则有X=F X−1(R)（1.2）由这一定理可知，分布函数为F X(X)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按（1.2）式进行变换得到。

2、MATLAB 中产生随机序列的函数（1）(0,1)均匀分布的随机序列函数：rand用法：x = rand(m, n)功能：产生m×n的均匀分布随机数矩阵。

（2）正态分布的随机序列函数：randn用法：x = randn(m, n)功能：产生m×n的标准正态分布随机数矩阵。

如果要产生服从N(μ,σ2)分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。

（3）其他分布的随机序列MATLAB 上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数，表1.1 列出了部分函数。

表1.1 MATLAB 中产生随机数的一些函数3.随机序列的数字特征估计对于遍历过程，可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。

这里我们假定随机序列X(n)为遍历过程，样本函数为x(n)，其中n = 0, 1, 2, … N-1。

那么，X(n)的均值、方差和自相关函数的估计为:利用MATLAB 的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征。

（1）均值函数函数：mean用法：m = mean(x)功能：返回按(1.3)式估计X(n)的均值，其中x为样本序列x(n)。

- 4 -（2）方差函数函数：var用法：sigma2 = var(x)功能：返回按（1.4）式估计X(n)的方差，其中x为样本序列x(n)，这一估计为无偏估计。

（3）互相关函数函数：xcorr用法： c = xcorr(x, y)c = xcorr(x)c = xcorr(x, y, 'opition')c = xcorr(x, 'opition')功能：xcorr(x,y)计算X(n)与Y(n)的互相关，xcorr(x)计算X(n)的自相关。

option选项可以设定为：'biased' 有偏估计，即'unbiased' 无偏估计，即按（1.5）式估计。

'coeff' m = 0时的相关函数值归一化为1。

'none' 不做归一化处理。

三、实验内容及结果1. 采用线性同余法产生均匀分布随机数1000个，计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小。

改变样本个数重新计算。

Script计算脚本：num=input('num= ');N=2^31;k=2^16+3; %IBM random number generatorY=zeros(1, num);X=zeros(1, num);Y(1)=1;for i = 2:numY(i)=mod(k*Y(i-1), N);endX=Y/N;a=0;b=1;m0=(a+b)/2;sigma0=((b-a)^2)/12; %theoritical valuem1=mean(X);sigma1=var(X); %actual valuedelta_m=abs(m1-m0)delta_sigma=abs(sigma1-sigma0) %errorplot(X, 'k');xlabel('n');ylabel('X(n)');axis tight;实验结果：num = 1000delta_m = 0.0110 delta_sigma =0.0011num = 5000delta_m = 2.6620e-04 delta_sigma =0.0020nX (n )0.10.20.30.40.50.60.70.80.9nX (n )num = 10000delta_m = 8.7166e-05 delta_sigma =4.1864e-04由结果可知， 当num=10000时的均值和方差与理论值误差最小，因此效果比较好。

2. 参数为λ的指数分布的分布函数为F X (x )=1−e −λx利用反函数法产生参数为0.5的指数分布随机数1000个，测试其方差和相关函数。

script 计算脚本R = rand(1, 1000); lambda = 0.5;X = -log(1-R)/lambda;Dx = var(X)[Rm, m] = xcorr(X);0.10.20.30.40.50.60.70.80.9nX (n )subplot(2,1,1); plot(X, 'k'); xlabel('n'); ylabel('X(n)'); axis tight;subplot(2,1,2); plot(m, Rm, 'k'); xlabel('m'); ylabel('R(m)'); axis tight;运行结果：Dx =4.1286结果分析：参数为λ的指数分布，其方差为1λ2。

当λ=0.5时， 应有D[X]=4，实验的结果D[X]=4.1286，可见大致与理论相符，误差来源于样本数量过少。

100200300400500600700800900100051015nX (n )-800-600-400-20002004006008002000400060008000mR (m )3. 产生一组N(1,4)分布的高斯随机数（1000个样本），估计该序列的均值、方差和相关函数。

script计算脚本：X = normrnd(1, 2, [1, 1000]);mx = mean(X)Dx = var(X)[Rm, m] = xcorr(X);subplot(2,1,1);plot(X, 'k');xlabel('n');ylabel('X(n)');axis tight;subplot(2,1,2);plot(m, Rm, 'k');xlabel('m');ylabel('R(m)');axis tight;运行结果：Dx =3.8872结果分析：样本方差为3.8872， 可见与理论值4比较接近。

误差主要来源于样本数量过少。

样本的自相关函数表明：正态分布的随机序列在任意两个不等的时刻相关性均比较弱。

四、心得体会通过本次实验，首先了解了计算机中随机数的产生方法。

线性同余法可产生[0, 1]上的均匀分布随机数，通过函数变换即可或得任意分布的随机数。

其次，通过计算指数分布与高斯分布序列的自相关函数，对这两种分布的相关性有了更加直观的理解。

同时，实验复习了matlab 函数调用及绘图操作。

1002003004005006007008009001000nX (n )-800-600-400-20002004006008001000200030004000mR (m )。