华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业
的通解 ，(1,2,2)b =-，则数量积a b ⨯= 2)xy ，则
= 322()()L
x xy dx x y dy +++⎰
等于 （ ） A ．1- B ．1 C ．
12 D ．14
2．已知a i j k =++，则垂直于a 且垂直于x 轴的单位向量是 （ ） A ．()i k ±- B ．)j k - C ．)j k + D ．)i j k -+
3．设ln z xy =（）
，则1
1
x y dz === （ ）
A ．dy dx -
B ．dx dy +
C ．dx dy -
D ．0
4．对于级数1(1)n
p n n
∞
=-∑，有 （ ）
A ．当1p >时条件收敛
B ．当1p >时绝对收敛 ） 1n =∑2
1)n n u
2.设,f g 均为连续可微函数，(,)()u f x xy g x xy =+，求
,u u x y
∂∂∂∂。
1.5CM
3．设由方程z
xyz e
=确定隐函数(,)
z z x y
=，求全微分dz。
4.判定级数
12!
n
n
n n n
∞
=
∑的敛散性。
5.
6
7
D
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1．L 是连接以(1,0)-为起点和(1,2)为终点的一条曲线，问当a 为何值时，曲线积分2322(6)(2)L
xy y dx a xy x y dy -+-⎰与积分路径无关，并计算此时的积分值。
数且
1.5CM
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ参考答案 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．Cx y e = 2．(6,-8,-11) 3．11321
x y z
+-==
- 4．22cos()xy xy 5
．1
2
(,)x dx f x y dy ⎰⎰
1D
⎰⎰ 2.''2(,)()(,)()u
xf x xy g x xy xf x xy g x xy y
∂=+++∂………………7分 3.设由方程z xyz e =确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。
解：设(,,)z F x y z xyz e =-………………1分
,,z x y z F yz F xz F xy e ===-………………4分
,y x z z
z z F F z yz z xz
x F e xy y F e xy
∂∂=-==-=∂-∂-………………6分 ()z z
dz ydx xdy e xy
=
+-………………7分 4.判定级数12!
n
n n n n ∞
=∑的敛散性。
解：111
12!
lim lim 2(1)!n n n n n n n n u n n u n n ρ+++→∞→∞+==+()………………4分 解:
1(11)1x x x x =+++-<<- 1(11)1x x x x
=-++-<<+ (24111)
)()4
2122
x x x
x ==+
-+ (222)
n n x +
++ (x)
1
1
()()(())(cos )dx p x dx
p x dx x
x y e Q x e dx C e x x e C --⎰⎰⎰
⎰=+=⋅+⎰⎰………………2分
(sin )x x C =+………………5分 由2
2
x y ππ
=
=-
，得2C =-，特解为(sin 2)y x x =-………………7分
7.计算二重积分D
σ⎰⎰，其中D 是由曲线y =和2y x =所围成的闭区域。
解：2{(,)|01,D x y x x y =≤≤≤≤………………2分
210
x
D
dx σ=⎰⎰⎰………………4分
7
1
4402()3
x x dx =-⎰………………5分 6
55
=………………7分
22,A xy xz yz xyz k =++=………………2分
令22()F xy xz yz xyz k λ=+++-………………4分
2020220x y
z F y z yz F x z xz F x y xy xyz k λλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨
=++=⎪⎪=⎩
………………5分
解得x y z
===………………7分
3.设()
f x在||1
x<上有定义，在0
x=某领域有一阶连续的导数且0
()
lim0
x
f x
a
x
→
=>，求证：（1）
1
1
()
n
f
n
∞
=
∑发散；（2）-1
1
1
()
n
n
f
n
∞
=
∑（-1）收敛。
解：因为
()
lim0
x
f x
a
→
=>，所以当n充分大后
1
()0
f>………………1分
x→
(
n n
→+∞
由莱布尼兹判别法得-1
1
1
(
n
n
f
n
∞
=
∑（-1）收敛。
………………7分。