:
k

24EIc h3
0 :
k
6EIc h3
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2.1.5 阻尼力 （Damping Force）
阻尼：引起能量的耗散，
使振幅变小的一种作用。
阻尼的来源(物理机制)：
(1)材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)构件连接部位的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。
◆ 牛顿(Newton)第二定律 ◆ D’Alembert原理 ◆ 虚位移原理 ◆ Hamilton原理 ◆ Lagrange方程
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运动方程：
描述结构中力与位移(包括速度和加速度)关系 的数学表达式，有时也称为动力方程。
运动方程是进行结构动力分析的基础 运动方程的建立是结构动力学的重点和难点
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2.1.6 线弹性体系和粘弹性体系
(Linearly Elastic System and Viscous Elastic System) 线弹性体系：由线性弹簧(或线性构件)组成的体系。
—最简单的理想化力学模型。
粘弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼(粘性阻尼) 的影响时的体系。
—结构动力分析中的最基本力学模型。
粘性(滞)阻尼力可表示为：
fD cu
fD
u fD
fD
c 1
u
D — 表示阻尼(Damping)
(a)
c — 阻尼系数(Damping coefficient)
u — 质点的运动速度
(b)
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阻尼系数 c 的确定： 不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和
材料的力学性质等来获得，因为c是反映了多种耗能因 素综合影响的系数，阻尼系数一般是通过结构原型振 动试验的方法得到。 粘性(滞)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 其它常用的阻尼： 摩擦阻尼：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数； 滞变阻尼：阻尼力大小与位移成正比(相位与速度相同)； 流体阻尼：阻尼力与质点速度的平方成正比。
动力自由度：决定结构体系质量位置所需的独立参数 称为结构的动力自由度。
动力自由度的数目：决定结构体系质量位置所需的独 立参数的数目称为结构的动力自由度的数目。
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2.1.2 实位移、可能位移和虚位移
可能位移： 满足所有约束方程的位移称为体系的可能位移。
实位移： 如果位移不仅满足约束方程，而且满足运动方程 和初始条件，则称为体系的实位移。
d 2u d 2t
mu
F(t) mu 0
fI mu
I — 表示惯性(Inertial)； m— 质量(mass)； ü — 质点的加速度。
坐标方向：向右为正
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2.1.4 弹簧的恢复力
（Resisting Force of Spring）
对弹性体系，弹簧的恢复力也被称为弹性恢复力 弹性恢复力：大小等于弹簧刚度与位移(弹簧变形)的乘积
首先通过对简单结构体系(单自由度体系)的讨论介 绍结构动力分析中存在的基本物理量及建立运动方程的 方法，然后介绍更复杂的多自由度体系运动方程的建立。
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单自由度体系： SDOF (Single-Degree-of-Freedom) System 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定
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The number of independent displacements required to define the displaced positions of all the masses relative to their original position is called the number of degrees of freedom (DOFs) for dynamic analysis. — A. K. Chopra
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2.1.7 非弹性体系 (Inelastic System)
结构构件的力—变形关系为非线性关系，结构刚度不再为常数。 构件(或弹簧)的恢复力可表示为
fs fs (u ,u)
fs 是位移和速度的 非线性函数。
非弹性体系中结构构件的力与位移关系
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第2章 运动方程的建立
2.2 运动方程的建立
方向指向体系的平衡位置。
fs ku
fs
k
1
a
d
-u0
O
b
u u0
fs k
1
u
s— 表示弹簧(Spring) c
(a)
k— 弹簧的刚度(Spring Stiffness)
u— 质点位移
(b)
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单层框架结构的水平刚度
k
24EIc h3
6 1 6 4
;
h(EIb ) / L(EIc )
h—框架结构的高度 L—梁的长度 E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩
虚位移： 在某一固定时刻，体系在约束许可的情况下可能 产生的任意组微小位移，称为体系的虚位移。
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2.1.3 惯性力（Inertial Force）
惯性：保持物体运动状态的能力。
惯性力：大小等于物体的质量与加速度的乘积?!，
方向与加速度的方向相反。
F
(t)
d dt
m
du dt
F (t )
m
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2.1.1 广义坐标与动力自由度
广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量称为 该质点系的广义坐标。 广义坐标可以取长度量纲的量，也可以用角度甚 至面积和体积来表示。
静力自由度的概念：确定结构体系在空间中位置所需的 独立参数的数目称为结构的自由度。
动力自由度的定义：结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目称 为结构的动力自由度(数)。
The number of displacement components which must be considered in order to represent the effects of all significant inertial forces of a structure may be termed the number of dynamic degrees of freedom of the structure. — R. Clough
结构动力学
教师：王君杰 助教：宋彦臣
同济大学 土木工程学院桥梁工程系 2014年秋
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结构动力学 第2章
运动方程
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第2章 运动方程的建立
2.1 基本概念
● 广义坐标与动力自由度 ★ 实位移、可能位移和虚位移 ★ 广义力 ● 惯性力 ● 恢复力 ● 阻尼力 ● 线弹性体系和粘弹性体系 ● 非弹性体系