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单自由度体系： SDOF (Single-Degree-of-Freedom) System 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定
基本动力体系： 应包括结构动力分析中涉及的所有物理量。 质量；弹簧；阻尼器。
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基本动力体系
两个典型的单自由度体系
物理元件： 质量 阻尼器 弹簧
集中质量m 阻尼系数c 弹簧刚度k
约束方程：
2 2 2 x1 + y1 = l1 2 2 2 x − x + y − y = l ( ) ( ) 2 1 2 2 1
广义坐标有2个，可以选(x1, y2)、(x2, y1)、 (x1, x2)、(y1, y2)或(θ1, θ2)中的任何一对
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2.1.2 功和能 功的定义 有势力和势能 动能
2 2 2
Ø
Ø
情况（c）弹簧摆。受到约束
约束方程不含时间，称为定常约束。 约束方程随时间变化，称为非定常约束。
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关于约束的另一种分类： n 完整约束：
只限制质点位置，而不限制速度。即约束方 程不显含坐标对时间的一阶导数。
n
非完整约束：
约束方程显含坐标对时间的导数，并且不可积。
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静力自由度的概念：确定结构体系在空间中位置所需 的独立参数的数目称为结构的自由度。 动力自由度的定义：结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目称为 结构的动力自由度。
(a) 单层框架结构
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同
(b) 弹簧―质点体系
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2.2 基本力学原理与运动方程的建立
2.2.0 牛顿（Newton）第二定律
F = ma
F = p(t ) − f D − f s
ma + f D + f s = p(t )
单质点体系的受力分析
&& f D = cu & a=u
结构动力学
Dynamics of Structure
第 2章
分析动力学基础及 运动方程的建立
1力学分析ຫໍສະໝຸດ 两大类•矢量力学 （基于牛顿基本定律）
•标量力学 （基于变分原理） 达朗贝尔原理
D’Alembert Principle
在结构动力学 中应用的体现
汉密尔顿原理
Hamilton Principle
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2.1 基本概念
2.1.1 约束、广义坐标与自由度
•简例：平面内的单质点
O y x O y x q l m O l(t)
m (a)无约束
m (c)弹簧约束
(b)刚性铰链约束
图 1 平面内无、有约束的单质点
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O y
x
O y
x q l m
O
l(t) m
m
Ø
情况（a）用(x,y)或(r, θ)描述。2个自由度； 情况（b）单摆。受到约束 x + y = l 用x或y或θ描述。1个自由度；
3D问题： n 个质点组成的体系，将由 3n 个坐标来描述。 但约束作用使得这 3n 个坐标并不都是独立的。 若存在 m 个约束，则系统的自由度数目s为 s= 3n − m 2D问题： s= 2n − m
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广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量称为 该质点系的广义坐标。广义坐标可以取长度量纲的量， 也可以用角度甚至面积和体积来表示。 n 个质点k 自由度的体系，如果可以选择任意k个独 立变量q去表示体系的运动情况，即有
∂ui 其中， Q j = ∑ Fi 称为相应于广义坐标的 广义力。 ∂q j i =1
n
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•[例题] 如图所示的平面双摆，两杆
为等截面均质刚性杆，有重力作用。 在B点受一水平常力P作用，试求对应 于广义坐标q1=θ1、q2=θ2的广义力 Q1和Q2。
m1 g m2 g
•作用的3个外力为
F1 y = m1 g , F2 y = m2 g , F3 x = P
—最简单的理想化力学模型。
粘弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼（粘性阻 尼）的影响时的体系。
—结构动力分析中的最基本力学模型。
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2.1 基本概念
2.1.9 非弹性体系 (Inelastic System)
结构构件的力—变形关系为非线性关系，结构刚度不再为常数。 构件（或弹簧）的恢复力可表示为
拉格朗日方程
Lagrange Equations
2
n
费尔马（Fermat）原理 大自然总是走最容易和最可能的途径。 最小作用量原理 静力学中，最小势能原理、最小余能原理 动力学中，汉密尔顿原理 动力学中，
n
n
n
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•第2章 分析动力学基础及运动方程的建立
2.1 基本概念
l广义坐标与动力自由度 Ø功和能 Ø实位移、可能位移和虚位移 Ø广义力 l惯性力 l弹簧的恢复力 l阻尼力 l线弹性体系和粘弹性体系 l非弹性体系
略……
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2.1.3 实位移、可能位移和虚位移
可能位移： 满足所有约束方程的位移称为体系的可能位移。 实位移： 如果位移不仅满足约束方程，而且满足运动方程 和初始条件，则称为体系的实位移。 虚位移： 在某一固定时刻，体系在约束许可的情况下可能 产生的任意组微小位移，称为体系的虚位移。
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2.1.4 广义力
&& f I = mu
I — 表示惯性（Inertial）； m— 质量（mass） ； ü — 质点的加速度。
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坐标方向：向右为正
2.1.6 弹簧的恢复力（Resisting Force of Spring）
对弹性体系，弹簧的恢复力也被称为弹性恢复力 弹性恢复力：大小等于弹簧刚度与位移(弹簧变形)的乘积 方向指向体系的平衡位置。
任一质点 mi 的空间位置 ui 可表示为广义坐标qj （j=1,2,…,k）和时间 t 的函数 ui = ui (q1 , q2 , L qk , t ) （2-11） 质点 mi 受力 Fi 作用，在虚位移 δui上所做虚功为
δWi = Fiδui （2-12） δui 可表示为广义坐标的虚位移δq j 的函数
单质点体系的受力分析
&& + cu & + ku = p(t ) mu
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2.2 基本力学原理与运动方程的建立
2.2.2 虚位移原理
虚位移原理的优点：虚位移原理是建立在对虚功分析 的基础之上，而虚功是一个标量，可以按代数方式运 算，因而比Newton第二定律，或D’Alembert原理中需 要采用的矢量运算更简便。
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Q1 = −0.5m1 gl1 sin θ1 − m2 gl1 sin θ1 + Pl1 cos θ1 Q2 = −0.5m2 gl2 sin θ 2 + Pl2 cos θ 2
2.1.5 惯性力（Inertial Force）
惯性：保持物体运动状态的能力 惯性力：大小等于物体的质量与加速度的乘积，
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2.2 运动方程的建立 2.2.2 虚位移原理
[可能位移；实位移；虚位移]
虚位移原理：在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时， 外力在虚位移上所做的虚功总和恒等于零。 虚位移是指满足体系约束条件的无限小位移。 设体系发生一个虚位移δu，则平衡力系在δu上做的总虚功为:
p (t )δu − f I δu − f D δu − f S δu = 0 p( t )- f I - f D - f s = 0 && f D = cu & f I = mu f S = ku
对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些
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2.2 基本力学原理与运动方程的建立
2.2.3 Hamilton原理
•则为广义力Q1和Q2为
Q1 = F1 y Q2 = F1 y ∂y1 ∂y ∂x + F2 y 2 + F3 x 3 ∂θ1 ∂θ1 ∂θ1 ∂y1 ∂y ∂x + F2 y 2 + F3 x 3 ∂θ 2 ∂θ 2 ∂θ 2
•相应作用方向的坐标值为
y1 = 0.5l1 cos θ1 y2 = l1 cos θ1 + 0.5l2 cos θ 2 x3 = l1 sin θ1 + l2 sin θ 2
f s = ku
&& + cu & + ku = p(t ) mu
——单质点体系运动时 要满足的控制方程— 运动方程 27
2.2 基本力学原理与运动方程的建立
利用牛顿第二定律的优点：
牛顿第二定律是基于物理学中已有知识的直接应用 以人们最容易接受的力学知识建立体系的运动方程
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2.2 基本力学原理与运动方程的建立
2.2.1 D’Alembert原理（直接动力平衡法）
D’Alembert原理：在体系运动的任一瞬时，如果除了实际作用结构 的主动力（包括阻尼力）和约束反力外，再加上（假想的）惯 性力，则在该时刻体系将处于假想的平衡状态（动力平衡）。
p(t ) − f I − f D − f s = 0
&& f I = mu & f D = cu f s = ku
单质点体系的受力分析
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&& + cu & + ku = p (t ) mu
2.2 基本力学原理与运动方程的建立 2.2.1 D’Alembert原理
D’Alembert原理的优点： 静力问题是人们所熟悉的，有了D’Alembert 原理之 后，形式上动力问题就变成了静力问题，静力问题中 用来建立控制方程的方法，都可以用于建立动力问题 的平衡方程，使对动力问题的思考有一定的简化。对 很多问题，D’Alembert原理是用于建立运动方程的最 直接、最简便的方法。 D’Alembert原理的贡献： 建立了动力平衡（简称：动平衡）的概念。