3．参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化(1)将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线类型,曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y 的取值范围保持一致．把曲线的普通方程化为参数方程[例1] 根据所给条件,把曲线的普通方程化为参数方程． (1)(x －1)23＋(y －2)25＝1,x ＝3cos θ＋1,(θ为参数)；(2)x 2－y ＋x －1＝0,x ＝t ＋1,(t 为参数)．[解] (1)将x ＝3cos θ＋1代入(x －1)23＋(y －2)25＝1,得y ＝2＋5sin θ.∴⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2(θ为参数)．这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0,得y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1(t 为参数)．这就是所求的参数方程．普通方程化为参数方程时的注意点(1)选取参数后,要特别注意参数的取值范围,它将决定参数方程是否与普通方程等价．(2)参数的选取不同,得到的参数方程是不同的．如本例(2),若令x ＝tan θ(θ为参数),则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝tan 2θ＋tan θ－1(θ为参数)．1.如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为______________．解析：由题意得圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14,圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0在x 轴上,半径为12,则该圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋12cos α，y ＝12sin α(α为参数),注意α为圆心角,θ为圆弧所对的圆周角,则有α＝2θ,故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋12cos 2θ，y ＝12sin 2θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)将参数方程化为普通方程[例2] 将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝1－t ，y ＝1＋2t(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1(θ为参数)．[思路点拨] (1)可采用代入法,由x ＝1－t 解出t,代入y 的表达式； (2)采用三角恒等变换求解．[解] (1)由x ＝1－t 得 t ＝1－x,将其代入y ＝1＋2t 得y ＝3－2x.因为t ≥0,所以x ＝1－t ≤1,所以参数方程化为普通方程为y ＝3－2x(x≤1)． 方程表示的是以(1,1)为端点的一条射线(包括端点)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5①sin θ＝y ＋14②,①2＋②2得x 225＋(y ＋1)216＝1(－5≤x≤5,－5≤y≤3)．将参数方程化为普通方程的三种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式,然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征,选用一些灵活的方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小,必须根据参数的取值范围,确定函数f(t)和g(t)的值域,即x 和y 的取值范围．2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1去掉(0,1)点 C ．x 2＋y 2＝1去掉(1,0)点 D ．x 2＋y 2＝1去掉(－1,0)点解析：选D 结合题意,x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1,x ＝1－t 21＋t 2＝－1＋21＋t 2≠－1,故选D.3．已知曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－sin θ(θ为参数),则曲线的普通方程为( )A ．y 2＝1＋x B ．y 2＝1－x C ．y 2＝1－x(－2≤y≤2)D ．以上都不对解析：选C 因为y ＝cos θ－sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4,所以y ∈[－2, 2 ],由y 2＝1－2sin θcosθ＝1－sin 2θ,得y 2＝1－x,y ∈[－2, 2 ],故选C.一、选择题1．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y≤1)解析：选C 方程可化为y ＝x －2,x ∈[2,3],y ∈[0,1],故选C.2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．线段D ．射线解析：选C x ＝cos 2θ∈[0,1],y ＝sin 2θ∈[0,1], ∴x ＋y ＝1(x ∈[0,1])为线段．3．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)化为普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1,其表示以(－1,2)为圆心,1为半径的圆,其对称中心即圆心,显然(－1,2)在直线y ＝－2x 上,故选B.4．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝a ＋22t (t 为参数),A(－1,0),B(1,0),若曲线C 上存在点P 满足AP ―→·BP―→＝0,则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 B ．[－1,1] C ．[－2,2]D ．[－2,2]解析：选C 设P(x,y),∵A(－1,0),B(1,0),点P 满足AP ―→·BP―→＝0, ∴P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝1,表示圆心为(0,0),半径为1的圆．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝a ＋22t (t 为参数)化成普通方程为x －y ＋a ＝0,由题意知,圆心(0,0)到直线x －y ＋a ＝0的距离d ＝|a|2≤1,∴－2≤a≤ 2.二、填空题5．x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0化为参数方程为________．解析：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0化成标准方程是(x ＋1)2＋(y －2)2＝4,表示圆心为(－1,2),半径为2的圆,故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)6．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)化为普通方程为x ＋y ＝1,⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)化为普通方程为x 2＋y 2＝9,表示以(0,0)为圆心,3为半径的圆．圆心(0,0)到直线的距离为12＝22,小于半径3,所以直线与圆相交．因此,交点的个数为2.答案：27．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为________________．解析：曲线C 的直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1,其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)三、解答题8．把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4t 2，y ＝t ＋1(t 为参数,t≥0)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t(π≤t≤2π)．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4t 2，①y ＝t ＋1，②由②得t ＝y －1,又t≥0,所以y≥1.所以x ＝－4(y －1)2(y≥1),即(y －1)2＝－14x(y≥1)．方程表示的是顶点为(0,1),对称轴平行于x 轴,开口向左的抛物线的一部分．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t ，得x 24＋y29＝1. ∵π≤t≤2π,∴－2≤x≤2,－3≤y≤0. ∴所求方程为x 24＋y29＝1(－3≤y≤0),它表示半个椭圆⎝ ⎛⎭⎪⎫椭圆x 24＋y 29＝1在x 轴下方的部分. 9．如图所示,经过圆x 2＋y 2＝4上任一点P 作x 轴的垂线,垂足为Q,求线段PQ 中点轨迹的普通方程．解：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．在此圆上任取一点P(2cos θ,2sin θ), 则PQ 的中点为M(2cos θ,sin θ),所以PQ 中点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数),化成普通方程x 24＋y 2＝1.10．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数),曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋6sin θ.(1)将曲线C 1的参数方程化为普通方程,将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)曲线C 1,C 2是否相交？若相交,请求出公共弦的长；若不相交,请说明理由．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝－2＋10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)得(x ＋2)2＋y 2＝10,∴曲线C 1的普通方程为(x ＋2)2＋y 2＝10.∵ρ＝2cos θ＋6sin θ, ∴ρ2＝2ρcos θ＋6ρsin θ,∴x 2＋y 2＝2x ＋6y,即(x －1)2＋(y －3)2＝10. ∴曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10. (2)∵圆C 1的圆心为(－2,0),圆C 2的圆心为(1,3), ∴|C 1C 2|＝(－2－1)2＋(0－3)2＝32＜210,∴两圆相交．设相交弦长为d,∵两圆半径相等,∴公共弦平分线段C 1C 2,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝(10)2,解得d ＝22,∴公共弦长为22.。