高2020考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，少年！参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M={x||x|≤2},N={x|x2-3x=0}，则M∩N=（）A．{3}B．{0}C．{0，2}D．{0，3}2．若(a-2i)i=b-i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则a2+b2=（）A．0B．2C．5D．52 3．lim x+3=x→-3x2-9（）A．-16B．0C．16D．134．已知高为3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是边长为1的正三角形（如图1所示），则三棱锥B′—ABC的体积为（）A．14 C．36B．12 D．345．若焦点在x轴上的椭圆x2+y2=1的离心率为1，则m=（）2m2A．3B．3C．823 6．函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为A．(2,+∞)B．(-∞,2)C．(-∞,0)D．23（）D．（0，2）A ． 1 C ． 1 D ． 1B ． 5 }满足x = 1 , x =22n →∞7．给出下列关于互不相同的直线 m 、l 、n 和平面α 、β 的四个命题：①若 m ⊂ α, l ⋂ α = A,点A ∉ m , 则l 与m 不共面 ；②若 m 、l 是异面直线， l // α, m // α, 且n ⊥ l, n ⊥ m , 则n ⊥ α ； ③若 l // α, m // β ,α // β , 则l // m ；④若 l ⊂ α, m ⊂ α , l ⋂ m = 点A, l // β , m // β , 则α // β . 其中为假命题的是 （ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、 3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为 X 、Y ，则 log Y = 1 的概率为 （ ）2 X636129．在同一平面直角坐标系中，函数 y = f ( x ) 和y = g ( x ) 的图象关于直线 y = x 对称. 现将 y = g ( x ) 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位，再沿 y 轴向上平移 1 个单位， 所得的图象是由两条线段组成的折线 （如图 2 所示），则函数 f ( x ) 的表达式为（ ）2⎧2 x + 2,-1 ≤ x ≤ 0 A ． f ( x ) = ⎪⎨ x⎪⎩ 2 + 2,0 < x ≤ 2⎧2 x - 2,1 ≤ x ≤ 2C ． f ( x ) = ⎪⎨ x⎪⎩ 2 + 1,2 < x ≤ 4 ⎧2 x - 2,-1 ≤ x ≤ 0B ． f ( x ) = ⎪⎨ x⎪⎩ 2 - 2,0 < x ≤ 2⎧2 x - 6,1 ≤ x ≤ 2D ． f ( x ) = ⎪⎨ x⎪⎩ 2 - 3,2 < x ≤ 410．已知数列{xn2 n x 1( xn -1+ xn -2), n = 3,4,Λ .若 lim x = 2, 则x =（ ）n 1A ． 32B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.11．函数 f ( x ) =11 - e x的定义域是 .12．已知向量 a = (2,3), b = ( x ,6), 且a // b , 则 x =.13．已知 ( x cos θ + 1) 5的展开式中 x 2的系数与 ( x + 5 ) 4 的展开式中 x 3 的系数 4相等，则 cos θ =.14．设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)=；当n>4时，f(n)=.（用n表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分12分）化简f(x)=cos(6k+1π+2x)+cos(6k-1π-2x)+23sin(π+2x)(x∈R,k∈Z),并333求函数f(x)的值域和最小正周期.16．（本小题满分14分）如图3所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=234.F是线段PB上一点，CF=1534，点E在线段AB上，17且EF⊥PB.（Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；（Ⅱ）求二面角B—CE—F的大小.17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系x Oy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.18．（本小题满分12分）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数.（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求ξ的数学期望.19．（本小题满分14分）设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0.（Ⅰ）试判断函数y=f(x)的奇偶性；（Ⅱ）试求方程f(x)=0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD 边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A点落在线段DC上.（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值.YD CO(A)B X（图5)参考答案一、选择题1B2D3A4D5B6D7C8C9A10B11.{x|x<0} 12.4 13. ± 214. 5, (n - 2)(n + 1)2 1 10 6⨯ = 30二、 填空题1 22三、 解答题15．解：f ( x ) = cos(2k π +π3 + 2 x) +cos(2k π -π 3 - 2 x) + 2 3 sin( π3 + 2 x)= 2 cos( π π+ 2 x ) + 2 3 sin( 3 3+ 2 x ) = 4 cos 2 x函数 f(x)的值域为[ - 4 ,4];函数 f(x)的周期 T = 2π = π ；ω16．（I ）证明：∵ P A 2 + AC 2 = 36 + 64 = 100 = PC 2∴ △ PAC 是以∠ PAC 为直角的直角三角形，同理可证△ PAB 是以∠ PAB 为直角的直角三角形，△ PCB 是以∠ PCB 为直角的直角三角形。

故 PA⊥平面 ABC又∵ S∆PBC =1| AC || BC |= ⨯ 2而 1 | PB || CF |= 1 ⨯ 2 34 ⨯ 15 34 = 30 = S2 2 17∆PBC故 CF⊥PB,又已知 EF⊥PB∴ PB⊥平面 CEF（II ）由（I ）知 PB⊥CE,PA⊥平面 ABC∴ AB 是 PB 在平面 ABC 上的射影，故 AB⊥CE在平面 PAB 内，过 F 作 FF1 垂直 AB 交 AB 于 F1，则 FF1⊥平面 ABC ，tan ∠FEB = cot ∠PBA = AB ⎪⎪ 3 ⎪ y = y 1+ y 2 ⎩ 3 3 3 3 3 32 2 2 2 2 2EF1 是 EF 在平面 ABC 上的射影，∴ EF⊥EC故∠ FEB 是二面角 B —CE —F 的平面角。

10 5= =AP 6 3二面角 B —CE —F 的大小为 arctan 5317 ． 解 ：（ I ） 设 △ AOB 的 重 心 为 G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则⎨⎪3⎧ x + xx = 1 2 (1)∵ OA⊥OB ∴ k ⋅ k O AOB = -1 ,即 x x + y y = -1，... (2)1 2 1 2又点 A ，B 在抛物线上，有 y = x 2 , y = x 2 ，代入（2）化简得 x x = -11 1 221 2∴ y = y 1 + y 2 = 1 ( x 2 + x 2 ) = 1 [( x + x ) 2 - 2 x x ] = 1 ⨯ (3x) 2 + 2 = 3x 2 + 21 2 1 2 1 2所以重心为 G 的轨迹方程为 y = 3x 2 + 23（II ） S∆AOB = 1 2 | OA || OB |= 1 1 ( x 2 + y 2 )( x 2 + y 2 ) = x 2 x 2 + x 2 y 2 + x 2 y 2 + y 2 y 21 12 2 1 2 1 2 2 1 1 2由（I ）得 S ∆AOB = 1 1 1 1x 6 + x 6 + 2 ≥ 2 x 6 ⋅ x 6 + 2 = 2 (-1) 6 + 2 = ⨯ 2 = 11 2 1 2当且仅当 x 6 = x 6 即 x = - x = -1 时，等号成立。

1212所以△ AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值 1；18．解：(I)ξ 的可能取值为：0,1,2,… ,nξ的分布列为ξ012…n-1np s st2…st n-1t n s+t(s+t)2(s+t)3(s+t)n(s+t)n (II)ξ的数学期望为st19.解:（Ⅰ）由 ⎧ f (2 - x) = f (2 + x) ⎧ f ( x) = f (4 - x) ⎨ ⇒⎨⇒ f (4 - x) = f (14 - x)f (7 - x) = f (7 + x) f ( x ) = f (14 - x)OG ⋅ k = -1, k = -1 ⇒ a = -ks st st 2 st n -1 t nE ξ = 0 ⨯ + 1⨯ + 2 ⨯ + ... + (n - 1)⨯ + n ⨯s + t (s + t )2 (s + t )3 (s + t )n (s + t )n (1)t st 2 2st 3 (n - 2)st n -1 (n - 1)st n nt n +1E ξ = + + ... + + + s + t (s + t )3 (s + t )4 (s + t )n (s + t )n +1 (s + t )n +1 (2)(1)－(2)得t nt n +1 (n - 1)t n (n - 1)t n E ξ = - - +s s(s + t )n (s + t )n s(s + t )n -1⎩ ⎩⇒ f ( x ) = f ( x + 10) ,从而知函数 y = f ( x ) 的周期为 T = 10又 f (3) = f (1) = 0,而f (7) ≠ 0 ,f (-3) = f (-3 + 10) = f (7) ≠ 0 ，所以 f (-3) ≠ ± f (3)故函数 y = f ( x ) 是非奇非偶函数;(II) 又 f (3) = f (1)= 0, f (11)= f (13) = f (-7) = f (-9) = 0故 f(x) 在 [0,10] 和 [-10,0] 上 均 有 有 两 个 解 , 从 而 可 知 函 数 y = f ( x ) 在[0,2005]上有 402 个解,在[-2005.0]上有 400 个解,所以函数 y = f ( x ) 在[-2005,2005]上有 802 个解.20.解(I)（1）当 k = 0 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程 y = 1 2（2）当 k ≠ 0 时，将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1)所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称，有 k 1a故 G 点坐标为 G (-k ,1) ，从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标（线段OG 的中点）为 M (- k , 1 )2 2折痕所在的直线方程 y - 1 = k ( x + k ) ，即 y = kx + k 2 + 12222由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：k 2 1y = kx + +2 2y=P'N2=22+[-(2k++)]2=4+4k2≤4+4(7-43)=32-163.（3）当-2≤k≤-1时，直线交DC于N'(1（II）折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为N(0,k2+1),P(-k2+1,0)22k解k2+1≤1得-1≤k≤0；解-k2+1≤2得-2-22k当A与D重合时，k=－23≤k≤-2+3（1）当-2+3≤k≤0时，直线交BC于P'(2,2k+k2+1)22k2+1k21222（2）当-1≤k≤-2+3时，y/=k2+1k2+1(k2+1)3y=PN2=()2+(-)2=22k4k2 3(k2+1)2⋅2k⋅4k2-(k2+1)3⋅8k16k4令y/=0解得k=-2,此时y=PN2=27216∴PN2max=32-163k-,1)2k2k2+11k1y=PN'2=12+[--(-)]2=1+2k2k2k2≤1+1=2所以折痕的长度的最大值为32-163=2(6-2)。