第三章直线与方程一、选择题1．下列直线中与直线 x － 2y ＋ 1＝ 0 平行的一条是 ( ) ．A ． 2x － y ＋ 1＝0B ． 2x － 4y ＋ 2＝ 0C ． 2 ＋ 4 ＋ 1＝0D ． 2 － 4 ＋ 1＝ 0x yx y2．已知两点 A (2 ， m ) 与点 B ( m ， 1) 之间的距离等于 13 ，则实数 m ＝( ) ．A ．－ 1B ． 4C ．－ 1 或 4D ．－ 4 或 13．过点 ( － 2， ) 和 ( ， 4) 的直线的斜率为 1，则实数 a 的值为 ( )．Ma N aA ． 1B ． 2C ． 1 或 4D ． 1 或 2 4．如果 AB ＞ 0， BC ＞ 0，那么直线 Ax ― By ―C ＝ 0 不经过的象限是 ( ) ．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知等边△ ABC 的两个顶点 A (0 ， 0) ，B (4 ， 0) ，且第三个顶点在第四象限，则BC 边所在的直线方程是 ( )．A ． y ＝－ 3 xB ． y ＝－ 3 ( x － 4)C ． y ＝ 3 ( x －4)D． y ＝ 3 ( x ＋4)2l 的倾斜角互为补角的一 6．直线 l ： mx － my － 1＝0 经过点 P (2 ， 1) ，则倾斜角与直线 条直线方程是 ( )．A ． x ―y ― 1＝ 0B ． 2x ― y ― 3＝0C ． x ＋y － 3＝ 0 D． x ＋ 2y － 4＝07．点 (1 ， 2) 关于x 轴和 y 轴的对称的点依次是 ( ) ．PA ． (2 ， 1) ， ( －1，－ 2)B ． ( －1， 2) ， (1 ，－ 2)C ． (1 ，－ 2) ，( － 1， 2)D ． ( －1，－ 2) ， (2 ， 1)8．已知两条平行直线l 1 : 3 x ＋ 4y ＋ 5＝ 0，l 2 : 6 x ＋ by ＋ c ＝ 0 间的距离为 3，则 b ＋c＝ ( ) ．A ．－ 12B ． 48C ． 36D ．－ 12 或 489．过点 P (1 ，2) ，且与原点距离最大的直线方程是 ( )．A ． x ＋2y － 5＝0B ． 2x ＋ y － 4＝ 0C ． ＋3 y － 7＝0D ． 3 ＋ － 5＝ 0xx y 10． a ， b 满足 a ＋ 2b ＝ 1，则直线 ax ＋ 3y ＋ b ＝ 0 必过定点 () ．A ． － 1 ，1B ． 1 ，－1C ． 1 ，1D ． 1 ，－16 2262662二、填空题11．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)， B(2， a)， C( a，1)，则实数 a 的值是 ____________．12．已知直线x－ 2y＋ 2k＝ 0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数k的取值范围是 ____________ ．13．已知点 (a ，2)(a＞ 0) 到直线－＋ 3＝0 的距离为1，则a的值为 ________．x y14．已知直线ax＋y＋a＋ 2＝ 0 恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是____________________ ．15．已知实数x，y满足 5x＋ 12y＝ 60，则 x2 ＋ y2的最小值等于 ____________ ．三、解答题16．求斜率为3，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12 的直线方程．417．过点P(1 ，2) 的直线l被两平行线l 1: 4x＋3y＋1＝0与 l 2: 4x＋3y＋6＝0截得的线段长 | AB| ＝ 2 ，求直线l 的方程．2 218．已知方程 ( m― 2m― 3) x＋ (2 m＋m－ 1) y＋ 6－ 2m＝ 0( m∈ R) ．(1)求该方程表示一条直线的条件；(2)当 m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；(3)已知方程表示的直线 l 在 x 轴上的截距为－3，求实数 m的值；(4)若方程表示的直线 l 的倾斜角是45°，求实数 m的值．19．△ABC中，已知C(2 ，5) ，角A的平分线所在的直线方程是y＝x，BC边上高线所在的直线方程是y＝2x－1，试求顶点B的坐标．参考答案一、选择题1． D解析 ：利用 A B － AB ＝0 来判断，排除 A ，C ，而 B 中直线与已知直线重合．1 22 12． C解析 ：因为 | AB | ＝ ( 2 － m)2 ＋( m － 1)2＝ 2． 13 ，所以 2m － 6m ＋5＝ 13 解得 ＝－ 1 或 ＝ 4．mm3． A4 － a解析 ：依条件有＝ 1，由此解得 a ＝ 1．4． B解析 ：因为 B ≠ 0，所以直线方程为 y ＝ A x － C，依条件 A＞ 0， C ＞ 0．即直线的斜B B B B率为正值，纵截距为负值，所以直线不过第二象限．5． C解析 ：因为△ ABC 是等边三角形，所以 BC 边所在的直线过点B ，且倾斜角为 π，3所以 BC 边所在的直线方程为 y ＝ 3 ( x －4) ．6． C解析 ：由点 P 在 l 上得 2 ― 2― 1＝ 0，所以 ＝1．即 l 的方程为 x ― ― 1＝0．m m m y所以所求直线的斜率为－ 1，显然 x ＋ y － 3＝ 0 满足要求． 7． C解析 ：因为点 ( x ，y ) 关于 x 轴和 y 轴的对称点依次是 ( x ，－ y ) 和( － x ， y ) ，所以 (1 ， 2) 关于x 轴和 y 轴的对称的点依次是 (1 ，－ 2) 和 ( －1， 2) ．P8． D解析 ：将 l 1 : 3 x ＋4y ＋ 5＝0 改写为 6x ＋ 8y ＋ 10＝ 0，因为两条直线平行，所以b ＝ 8．由10－ c 或 c ＝ 40． 所以 b ＋ c ＝－ 12 或 48．＝3，解得 c ＝－ 2062 ＋ 829． A解析 ：设原点为 O ，依条件只需求经过点P 且与直线 OP 垂直的直线方程，因为 kO P ＝2，所以所求直线的斜率为－ 1，且过点 ．2所以满足条件的直线方程为 y － 2＝－ 1( x － 1) ，即 x ＋ 2y － 5＝ 0．210． B解析 ：方法 1：因为 a ＋ 2b ＝1，所以 a ＝ 1－ 2b ．所以直线 ax ＋3y ＋ b ＝ 0 化为 (1 －2b ) x ＋ 3y ＋ b ＝ 0．整理得 (1 － 2x ) b ＋ ( x ＋ 3y ) ＝ 0．所以当 x ＝ 1 ， y ＝－ 1时上式恒成立．2 6所以直线 ax ＋3y ＋ b ＝ 0 过定点1 ，－ 1 ．2 6方法 2：由 a ＋ 2 ＝1 得 －1＋ 2 ＝ 0．进一步变形为 a × 1＋ 3× － 1．2 06 这说明直线方程 ax ＋ 3y ＋ b ＝ 0 当 x ＝ 1 ， y ＝－ 1时恒成立．2 6 所以直线 ax ＋3y ＋ b ＝ 0 过定点1 ，－ 1 ．2 6二、填空题11．1 5．2解析： 由已知得 a－0 ＝1－，所以 a 2― a ― 1＝0． 解得 a ＝15 ．2 － 1 a － 1212．－ 1≤ k ≤ 1 且 k ≠ 0．解析： 依条件得 1· |2 k | · | k | ≤ 1，其中 k ≠ 0( 否则三角形不存在 ) ．2解得－ 1≤ k ≤ 1 且 k ≠ 0．13． 2 － 1．a － 2 ＋ 3解析： 依条件有 ＝ 1．解得 a ＝ 2 － 1， a ＝－ 2 － 1( 舍去 ) ．12 ＋ 1214． y ＝ 2x ．解析： 已知直线变形为 y ＋2＝－ a ( x ＋ 1) ，所以直线恒过点 ( ― 1，― 2) ．故所求的直线方程是y ＋2＝ 2( x ＋ 1) ，即 y ＝ 2x ．15．60． 13解析：因为实数 x， y 满足5x＋12y＝60，所以x2＋ y2 表示原点到直线5x＋ 12y＝ 60 上点的距离．所以x2＋ y2 的最小值表示原点到直线5x＋ 12y＝ 60 的距离．容易计算 d＝60 ＝ 60 ．即所求x 2＋ y 2 的最小值为60．25＋ 144 13 13 三、解答题16．解：设所求直线的方程为y＝3x＋ b，4令 x＝0，得 y＝b，所以直线与y 轴的交点为(0，b)；令 y＝0，得 x＝－4b，所以直线与x 轴的交点为－4b，0 ．3 34 2 4 2由已知，得 | b| ＋－ b ＋＝12 ，解得＝± ．b ＋－ b3 3故所求的直线方程是y＝3x±3，即3x－4y±12＝0．417．解：当直线l的方程为x＝1时，可验证不符合题意，故设l 的方程为 y－2＝ k( x － 1) ，由y＝ kx＋ 2 － k 解得A 3k－ 7 ，－ 5k ＋ 8 ；4 x ＋ 3 y＋ 1＝ 0 3k＋ 4 3k＋ 4由y＝ kx＋ 2 － k 解得 B 3k－ 12 ， 8 － 10k ．4 x ＋ 3 y＋ 6＝ 0 3k ＋ 4 3k ＋ 425k 2因为 | AB| ＝ 2 ，所以 5 ＋＝ 2 ．3k＋ 4 3k＋ 4整理得 7k2－ 48k－ 7＝ 0．解得k1＝ 7 或k2＝－1．7故所求的直线方程为x＋7y－15＝0或7x― y―5＝0．18．解： (1) 当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，2令 m―2m―3＝0，解得 m＝－1， m＝3；2 1令 2m＋m－ 1＝ 0，解得m＝－ 1，m＝．2所以方程表示一条直线的条件是m∈R，且 m≠－1．(2)由(1) 易知，当m＝1时，方程表示的直线的斜率不存在，2此时的方程为x＝4，它表示一条垂直于x 轴的直线．3(3) 依题意，有2m － 6＝－ 3，所以 3 2－ 4 － 15＝ 0．m 2 － 2m － 3m m所以 m ＝ 3，或 m ＝－ 5，由 (1) 知所求 m ＝－ 5．3 3 (4) 因为直线 l 的倾斜角是 45o ，所以斜率为 1．故由－ m 2－ 2m － 3 ＝ 1，解得＝ 4或 ＝－ 1( 舍去 ) ．2m 2 ＋ m －1m 3m所以直线 l 的倾斜角为 45°时， m ＝ 4．3y ＝ 2x － 1 19．解 ：依条件，由解得 A (1 ， 1) ．y ＝ x因为角 A 的平分线所在的直线方程是y ＝ x ，所以点 C (2 ， 5) 关于 y ＝ x 的对称点 C' (5 ，2) 在 AB 边所在的直线上．2 －1AB 边所在的直线方程为 y － 1＝( x － 1) ，整理得x － 4y ＋ 3＝0．又 BC 边上高线所在的直线方程是y ＝ 2x －1，所以BC边所在的直线的斜率为－1 ．( 第 19 题 )2BC 边所在的直线的方程是y ＝―1( x － 2) ＋ 5，整理得x ＋ 2y － 12＝0．2联立 x － 4y ＋ 3＝ 0 与 x ＋2y － 12＝ 0，解得 B 7， 5．2。