1
1 C 2 ( k k m ) k 1 2 1 2 2
2
7
例：已知质量m, 杆长l, 求系统运动方程
o
系统的动能和势能 1 1 2 2 1 T ( ml ) ; V mgl (1 cos ) 2 3 2

2 l g sin 0 3
3
c1 2 t X e c2
m1 0 0 m 2
c1 2 t k1 k2 c e k 2 2
k2 c1 t e 0 k2 c2
m1 0 2 k1 k2 k2 0 m2
非线性运动形式通常无法用 初等函数表示 非线性振动仍然可以用周期、振幅、 相位等来刻画
8
怎样判断其路径？摆动周期的变化？


m
c
c1
0

v0
1 2 2 ml mgl cos c 2

2
定性分析
9
摆动周期的变化

c
c1
0
1
2(c1 g ) l 2(c g ) l

机械振动的形成 ——惯性+恢复力
惯 性：维持系统的运动状态 恢复力：维持系统的平衡状态，恒指向平衡位置 m
k1 k2
线性与非线性系统遵循同样的物理原理
1
线性系统具有简单的‘特征’简谐运动 运动微分方程的建立
et
1 1 2 2 1 m2 x 2 T m1 x 2 2
k1
l1 st 1
2
第二阶振型
方程的解
x1 X a11C 1ei1t a12C 1e i1t x2 a21C 2 ei2t a22C 2 e i2t
6
线性系统具有‘特征’
M2 K 0
1 c11 C 2 ( k k m ) / k c 1 1 2 12 1 2
ห้องสมุดไป่ตู้
k2 c21 0 k2 c22
5
振型：
1 c11 C c11 2 c12 (k1 k2 m11 ) / k2
1
第一阶振型
1 C 2 ( k k m ) k 1 2 1 2 2
2


10
线性情况
1 1 2 2 mx kx c 2 2
x
c
c1
x0

2
k t m
2
0
x
x0
dx x dx x
x x C
相点沿相轨迹 匀速圆周运动
量纲看物理概念
无量纲概括一般规律
11
例：已知质量m, 杆长l, 求系统运动方程
o
解：系统的动能和势能 1 1 2 2 1 T ( ml ) ; V mgl (1 cos ) 2 3 2
1 2 1 2 V k1 x1 k 2 ( x2 x1 ) 2 2
m1
k2
x1
l2 st 2
1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 m1 x 2 k2 x1 k2 x2 m2 x
m2
x1 c1et ; x2 c2e ?
2
x2
t
x1 c1 t x c e 2 2
1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 m1 x 2 k2 x1 k2 x2 m2 x
m 1 0 k1 k 2 k 2 x1 M ; K ; X k2 0 m2 k2 x2
1 x X 2 x
k2 c1 0 k2 c2
上述方程有非零解，要求系数矩阵的行列式为零
M2 K 0
特征根—纯虚根
特征方程
2 2 1 12 2 2 2
4

2 1
2 1

2 2
2 2
2 m1 0 k1 k2 1 0 m2 k2
1 k1 k 2 x m1 0 0 m 2 x2 k2
k 2 x1 0 k 2 x2
KX 0 MX
x1 c1 t X e x 2 c2

2 l g sin 0 3 2 l g 0 线性化 3
2 l g 0 3
12
线性与非线性的联系
周期系数非线性
例：当基座周期运动时，求系统运动方程 解：系统的动能和势能


1 T m[ x 2 2cos r sin x (r ) 2 ]; 2 V mgr sin cos
k2 c11 0 k2 c12
k1 k2 m112 c12 c11 k2
c11 满足上述方程的 特征向量 c12
2 m1 0 k1 k2 2 0 m2 k2
2 k1 k2 m12 c22 c21 k2

m e
cs ks

Or
cr
Os

Where P is the elastic potential energy-a piece wisely differentiable
cs ks
Three Elements Amplitude, Frequency and Phase (difference)
2 r ( g sin a0 cos sin 0t )sin 0
x a sin 0t
线性化？
13
分段线性
The motion equation
P mx cx em 2 cos x P my cy em 2 sin y
kr
cr kr