θ
=
ω
ω
=
−
γ
m
ω
−
g l
sinθ
+
F ml
cos
Ωt
显含t ，在二维相空间中为非自治系统。
10
引入新变量φ = Ω t ，可将方程化为 ω
ω
=
−
γ
m
ω
−
g l
sinθ
+
F ml
cosφ
φ = Ω
θ
θ
O
自治系统的相空间与相轨线
●一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交， 即通过每一相点的轨线是唯一的。
令β =0，退化为线性方程
d2x dt 2
+δ
dx dt
+αx
=
f
cos Ωt
三种情况： a. f=δ = β = 0；b. f = β =0；c. β =0，相
应得出简谐振动、阻尼和受迫振动方程。
★简谐振动的相轨线：闭合圈---周期环---。
★阻尼振动的相轨线：从外向内收缩的螺旋线，最终停 止于中点---不动点吸引子--- 。
从周期运动到倍周期分岔
◎当 f = 0.8，系统的运动仍是 一个简单的周期运动。
17
◎当 f =0.89，其结果为一个二倍周期的运动，即出 现了倍周期分岔。
说明：图中看上去的每一条曲 线实际上是完全重合的两条曲 线，它们的初始值略有差异：
a. x0=1，υ0=0； b. x0=1.001，υ0=0.001.
1
为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输 入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果， 再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机却偏 离了上次的结果。
他第二次输入时去掉了小数点后面三位：
0.506127 → 0.506
混沌的初值敏感性
2
●蝴蝶效应
洛仑兹吸引子（奇怪吸引子）
3
非线性振动系统及混沌的基本概念
●处于混沌状态时，系统的行为对于初值十分敏感， 称这一特性为混沌的初值敏感性。
---蝴蝶效应---
x
运动的随机性
●相图（b）反映 出混沌运动的随机 性.即相轨道（运 动状态）完全不可 预测。
v
x
(b)
(a)
v
x
(c)
t
v
x
(d)
19
混沌的内在规律性----混沌吸引子
图(a)中两条曲线的运动完全各异，但它们的彭加勒 截面图[(c)和(d)]却又是完全相同的。把混沌的相轨线 在彭加勒截面上的这种点集称为混沌吸引子。
系统非稳定平衡点。可能出现三种运动情况：
a. 停留在该顶点，尔后径直下落；
b. 调头沿原路返回；
c. 越过该顶点继续向前运动。
6
类似地，当令θ0=0，ω02
=
4g l
，则解为
ω
=
±ω0
θ
cos 2
最高点(θ = ± π )，非稳平衡，运动非唯一性。
★ 对于一般单摆的运动方程（受周期性驱动力作 用的阻尼单摆） ：
dt2 l
当θ 很小，
线性近似：d 2θ = − g θ (sinθ ≈θ )
dt 2 l
O
θl
m
N
4
若θ 为任意值， (sinθ ≠θ ) 而 sin(θ1 + θ2 ) ≠ sinθ1 + sinθ2
故自由单摆为非线性振动系统：
d 2θ
dt 2
=−
g sinθ
l
A
O
θl
m
N
令
dθ = ω
dt
，以及 t = 0,ω = ω0,θ = θ0 ，
而非自治系统中相轨线则会相交。如上述系统在二
维 (θ ∼ θ )相平面上相轨线有相交情况。
11
4. 彭加勒截面图
若沿φ方向截取一系列相距为 2π 的截面，则根据该
自治系统的性质，每个截面上只有一个交点，即相 轨线一次性的穿过每一个截面。
因 φ = Ωt = 2nπ ，若以2π 为周长，将相空间弯成
★受迫振动：经过暂态 之后趋于一稳定的闭合 圈---周期吸引子或极限 环。
16
2. 非线性近似下的单摆运动 混沌
d2x dt 2
+δ
dx dt
+αx +
β x3
=
f
cos Ωt
★方程代表复杂的非线性振动系统。
为简化问题，在四个参数中只改变 f 的值。
数值模拟发现，随着 f 的逐渐增大，该振动系统产 生了由简单的周期运动到出现倍周期分岔，再进 入混沌的演化过程。
则上式变为
ω2
=
2g l
2
cos2
θ
2
−1− cosθ0
+ ω02
5
方程解的非唯一性 1. 设初始条件为
ω2
=
2g l
2
cos
2
θ
2
−1−
cosθ0
+ ω02
θ0= ±π ，ω0=0，则其解为
A
ω = ±2
g
θ
cos
l2
运动分析：
在最高点θ = ±π，ω = 0，
dω = 0
dt
O
θl
m
N
◎混沌吸引子是非线 x
性耗散系统混沌的特
征，表明耗散系统演 v
化的归宿。
★代表混沌行为的全
x
局特征。
(b)
(a)
v
x
(c)
t
v
x
(d)
●混沌吸引子体现出混沌运动的内存规律性。 20
x
初值悬殊的三 个吸引子
结论
★混沌行为具有 极为敏感的初值 依赖性；
v x
v x
t
v
x
★然而混沌的全局特征——混沌吸引子却具有不依赖 于初值的、确定的规则。 ●貌似随机的混沌运动，其长期的演化行为遵从确定 的规律---混沌运动的内在规律性。 ★混沌运动区别于真实随机运动的重要标志。
y = 1− µ x2 ---抛物线方程
令 y = xn+1, x = xn ，得抛物线形迭代方程
xn+1 = 1 − µ xn2
xn
µ ∈[0, 2], xn ∈[−1,1]
在整个区间取值迭代便
得出由周期运动到倍周
期分岔，再进入混沌状
态的整个演化过程。
µ
23
倍周期分岔序列：1→2→4→8→…2n→… →∞. ●当n→∞，则解的数目→∞，意味着系统已进入混沌
注意：常数δ 并不只限于单摆公式，而是对所有同一 类的变换，所得的δ 值都精确地相同。 ●δ 的数值只与系统的某种非线性性质有关，而与各
个系统的其他具体细节无关。
●反映出混沌演化过程中所存在的一种普适性.
●是混沌内在规律性的另一个侧面反映。
30
标度因子
在倍周期分岔序列图中，同次周期分岔中上下的各对 周期点之间的距离之比，以及第相邻两次周期分岔中
ml d 2θ + γ l dθ + mg sinθ = F cosΩt
dt 2
dt
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。
结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件 下，其解可能具有不可预测的随机性。
7
二、确定性系统中的内在随机性 ●在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性 性质所产生的运动随机性称为确定性系统的内在 随机性。 例如，上述非线性单摆的运动。 ★支配整个系统运动的因素是严格确定的（具有确 定的运动方程），系统完全不存在随机力的作用。 ★然而经过时间的演化，在这种确定性系统中出现 了随机行为，产生出完全不可预测的、极为复杂的 结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。
2
框内再放大得下页图
26
3
27
2
1 3
混沌内部的自相似结构
28
b. 自相似结构 看似混乱的混沌体系中，包含着丰富有序的内部结 构。 ★任何局部的小区域都包含着整体的信息，具有与整 体完全相似的规律。 ●在混沌内部所包含的这种在不同尺度上的相似结构 称为自相似性。 ◎从拓扑空间上来讲，自相似结构的维数往往不是整 数维，而是分数维的，也就是具有分形的性质。
8
三、混沌的基本概念
1. 混沌定义：在确定性系统中所表现出来的内在随 机行为。是一个决定论的系统中所存在的运动的不 可预测性。
2. 相图 ●描述系统运动的各状态参量之间的关系图。
例：自由单摆（简谐振动）
d 2θ
dt 2
+γ
2θ
=
0
θ = Acost, ω = θ = Asin t
θ
θ
O
★简谐振动是周期运动，每隔一定的时间运动又复
原，所以相轨线 (θ ∼ θ )为一闭合曲线。 9
3. 自治系统与非自治系统
●不显含时间 t 的动力学方程称为自治系统，而显 含时间 t 的动力学方程称为非自治系统。
★由线性单 摆方程可得
θ = ω ω = −γ 2θ
不显含t ，在二维相空 间中为自治系统。
（角谐振动）
★由受阻力 和周期策动 力作用的非 线性单摆方 程可得
32
●混沌的发现是对经典的决定论的冲击，或者说混 沌理论是对经典力学理论的补充和发展。 ●混沌现象无处不有。混沌规律不仅支配着整个自然 界的各个领域，而且也支配着人类的各种社会活动。
θ
θ
相轨线
θ
θφ
φ = 2nπ
∆φ = 2π
φ = 2(n +1)π
三维相空间
θ
θ φ
相轨线
φ = 2nπ