s5 2s4 3s3 6s2 4s 8 0
辅助方程 2s4 6s2 8 0 的根为 s1,2 1, s3,4 2 j
原方程的根为
s1 2, s2,3 1, s4,5 2 j
劳斯判据的应用
判断系统的稳定性和根的大致分布 确定使系统稳定的参数取值范围
例1 系统如图所示，试确定参数范围
s ansn an1sn1 a1s a0 0
充要条件 劳斯表的首列非零且不变号
劳斯表 sn an an2 an4
sn1 an1 an3 an5 sn2 a2,1 a2,2 a2,3 sn3 a3,1 a3,2 a3,3
其中
s0 an,1
ai, j
1 ai1,1
ai2,1 ai1,1
存在共轭复根 存在符号相反的实根
要用全零行的上一行元素为系数组成辅助方程，对其求导，将所得方 程系数作为全零行的元素
例 s3 s2 16s 16 0
s3 1 16
s2 1
16 辅助方程 s 2 16
首列不变号，系统是临界稳定
稳定的系统：输出是有界的
si
，
为负实数
j
lim c (t) 有限值
t
si ， j是特征方程的根（或根的实部）
稳定性问题演变为研究特征方程根的分布
判断稳定的基本方法
直接求根 劳斯判据 李亚普诺夫方法 相平面分析
劳斯判据
必要条件(特征根中无正根） 特征多项式系数全部同号且不为零
s3 1 1 s2 4 6 s1 2.5 s0 6
正根数目：两个
s3 4s2 s 6 s 1s 2s 3 0
例2 2s4 s3 3s2 5s 10 0
同号，无缺项，稳定？ 由劳斯判据判定：
s4 2 3 10 s3 1 5 0 s2 7 10 s1 6.43 s0 10
s z 1
得到新变量的特征方程，对新方程应用劳斯判据。
即将稳定的判断边界由0平移到 11 0
例 检验特征方程式 s3 8s2 10s 2 0 是否
有根在右半平面，并确定有几个根在 s 1 的
右边。
绝对稳定性
相对稳定性
s3 8s2 10s 2 0 令sz1 z3 5z 2 3z 1 0
系统不稳定，且有两个正根
特殊情况 1
某行第一列元素为零，其余项不为零或不全为零。
用无穷小正数 取代零，继续计算。
例
s5 s4 5s3 5s2 2s 1 0
s5 1
52
s4 1
51
s3 0
1
s
2
5 1
0
1
s1
5 1 2 5 1
0
s0 1
首列变号，系统不稳定
特殊情况 2
任意一行所有元素为零，说明有下列情况出现：
随频率变化的方法。
稳态和动态
系统输出：
ct ct t cs t
ct (t) 为瞬态响应，
lim
t
ct
(t
)
0
cs (t) 为稳态响应，
cs
(t
)
lim
t
c(t
)
2 稳定性
定义1：扰动消失后系统能回到原来的工作状态
ct
定义2：有界的输入产生有界的输出
ct M
产生稳定性问题的原因
s3 1 10
s2 8
2
s1 9.75
,
H
s
1
现要求系统闭环稳定，试确定参数范围，并 画出稳定区域
解：闭环系统的特征方程为：
2Ts 3 2 T s2 k 1s k 0
利用劳斯判据
劳斯表
参数稳定：
s3 s2 s1
2T 2T
2 T K 1 2TK
2T
K 1 K
2T 0
2 T 0
(2 T )(K 1) 2TK
2T
0
＋
1
－
s
k
s 1s 5
解： 闭环特征多项式为 s3 6s2 5s k
稳定的参数范围
利用劳斯判据：
s3 1
5
s2 6
k
s1 30 k 6
s0 k
30 k k 0
0
0 k 30
系统稳定的K值范围是：0<k<30
例2 已知开环传递函数为
G
s
H
s
s
K s 1 1 Ts 1
2s
0
T
K
1 2(K 1)
K 1
K 0
s0 K
参数稳定的区域图
K
参数稳定区域：0
T
K
1 2(K 1)
K 1
K T 2 T 2
1
2
T
相对稳定性
绝对稳定性：系统是否稳定
稳定、不稳定、临界稳定
相对稳定性：系统稳定的裕度
确定相对稳定性 对于任意给定的与纵轴平行的直 线，可以判断直线右侧极点数。令
闭环回路：小增益原理
运动方程：输出响应为指数函数
控制系统的响应与稳定性
系统的动态方程
d nc t
d n1c t
an dt n an1 dt n1
a1
dc t
dt
a0c
t
dmr t
d m1r t
bm dt m bm1 dt m
b1
dr t
dt
b0
r
t
输入为零的方程
d nc t
第三章 控制系统时域分析
引言 稳定性 劳斯判据 稳态误差和稳态误差系数 控制系统的动态响应指标 一阶系统的动态响应 二阶系统的动态响应
1 引言
三种特性分析： 稳定性 动态特性
两类研究方法
稳态特性
1. 时域方法：以时间t为函数变量，研究系统响应 随时间变化的方法。
2. 频域方法：以频率为函数变量，研究系统响应
d n1c t
an dt n an1 dt n1
a1
dc t
dt
a0c
t
0
特征方程（拉氏变换）
ansn an1sn1 a1s a0 0
输出函数
k
r
c t Ciesit e jt Aj cos jt Bj sin jt
i 1
j 1
其中 si 为实根， j j j 为复根
ai2, j1 ai1, j1
结论
劳斯表的行数为特征方程的阶次+1，最后两行 每行只有一个元素；
劳斯表首列元素不变号，系统是稳定的（反之 亦然）；
劳斯表首列无零元素，则首列元素符号变化的 次数，等于系统具有正根的数目；
例1 s3 4s2 s 6 0
由必要条件可判定系统不稳定。 由劳斯判据判定：系统不稳定
注意
在以上特殊情况下，劳斯表首列不变号，系统 是临界稳定。
劳斯表首列变号，系统不稳定。
辅助方程的根
例1 闭环特征方程为
s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0
辅助方程 s4 6s2 8 0 的根为 s1,2 2 j, s3,4 2 j
例2 已知闭环特征方程