绝密★启用前高中数学-推理与证明单元测试卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【题文】用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A.假设三个内角都不大于60度B.假设三个内角至多有一个大于60度C.假设三个内角都大于60度D.假设三个内角至多有两个大于60度2．【题文】菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等.在以上三段论的推理中（） A ．大前提错误B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．结论错误3．【题文】由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四个面( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点4．71115>，只需证（） A ．22)511()17(->- B ．22)511()17(+>+ C ．22)111()57(+>+ D ．22)111()57(->-5．【题文】命题“对于任意角θ，θθθ2cos sin cos 44=-”的证明:4cos θ-“4sin θ=θθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos 222222=-=+-．”该过程应用了（）A ．分析法B ．综合法C ．间接证明法D ．反证法6．【题文】观察式子:232112<+，353121122<++，474131211222<+++，…，可归纳出式子为（）A ．1211 31211222-<++++n n B ．121131211222+<++++n n C ．n n n 12131211222-<++++ D ．122131211222+<++++n nn7．【题文】已知圆()x y r r 222+=>0的面积为πS r 2=⋅，由此推理椭圆()x y a b a b2222+=1>>0的面积最有可能是（） A ．πa 2⋅B ．πb 2⋅C ．πab ⋅ D ．π()ab 28．【题文】分析法又称执果索因法，若用分析法证明:“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c＝0<”索的因应是（） A ．a －b ＞0 B ．a －c ＞0C ．（a －b ）（a －c ）＞0D ．（a －b ）（a －c ）＜09．【题文】对于数25，规定第1次操作为3325133+=，第2次操作为3313+3355+=，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是（） A.25 B.250 C.55 D.13310.【题文】（1）已知332p q +=，求证:2≤+q p ．用反证法证明时，可假设2≥+q p ；（2）若,a b ∈R ，1<+b a ，求证:方程02=++b ax x 的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11≥x . 以下结论正确的是（） A ．（1）与（2）的假设都错误 B ．（1）的假设正确，（2）的假设错误 C ．（1）与（2）的假设都正确 D ．（1）的假设错误，（2）的假设正确11.【题文】两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是（）A.48，49B.62，63C.75，76D.84，8512.【题文】从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（）A.2097B.1553C.1517D.2111二、填空题:本大题共4小题，每小题5分． 13.【题文】比较大小．14．【题文】在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高．观众A B C 、、做了一项预测:A 说:“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”．B 说:“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”．C 说:“我认为冠军不会是丙，而是甲”．比赛结果出来后，发现A B C 、、三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是__________．15．【题文】已知,,a b c 是ABC ∆的三边，若满足222a b c +=，即22()()1a b c c+=，则ABC ∆为直角三角形，类比此结论:若满足(,3)n n n a b c n n +=∈≥N 时，ABC ∆的形状为________．（填“锐角三角形”“直角三角形”或“钝角三角形”）．16．【题文】观察以下等式:11= 123+= 1236++=123410+++= 1234515++++=311= 33129+= 33312336++= 33331234100+++= 3333312345225++++=可以推测3333123...n ++++=(用含有的式子表示，其中为自然数)．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）【题文】已知,a b +∈R ，求证:3322a b a b ab +≥+．18．（本小题满分12分）【题文】已知命题:平面上一矩形ABCD 的对角线AC 与边AB 、AD 所成的角分别为α、β（如图1），则1cos cos 22=+βα.用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明.19．（本小题满分12分）【题文】(1)求证>； (2)已知0,0a b >>，且2a b +>，求证:1b a +和1ab+中至少有一个小于2.20．（本小题满分12分）【题文】(1)已知a ,b 都是正数，求证:552332a b a b a b +≥+；(2)已知0a >，证明(12a a ⎛⎫≥+- ⎪⎝⎭．21．（本小题满分12分）【题文】设函数2()f x ax bx c =++且(1)2af =-，322.a c b >>（1）试用反证法证明:0a >； （2）证明:33.4b a -<<-22．（本小题满分12分）【题文】已知2Q =称为x ，y 的二维平方平均数，22x yA +=称为x ，y 的二维算术平均数，2G =x ，y 的二维几何平均数，2211H x y=+称为x ，y的二维调和平均数，其中x ，y 均为正数. （1）试判断2G 与2H 的大小，并证明你的猜想；（2）令22M A G =-，22N G H =-，试判断M 与N 的大小，并证明你的猜想； （3）令22M A G =-，22N G H =-，22P Q A =-，试判断M 、N 、P 三者之间的大小关系，并证明你的猜想.推理与证明单元卷答题卡注意事项:1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名和班级填写在答题卡上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题推理与证明单元卷参考答案与解析一、选择题【答案】1.C【解析】根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的三个内角都大于60度，故选C.考点:反证法.【题型】选择题【难度】较易【答案】2.A【解析】大前提，“菱形的对角线相等”，小前提，正方形是菱形，结论，所以正方形的对角线相等，大前提是错误的，因为菱形的对角线垂直平分，不一定相等．以上三段论推理中错误的是大前提，故选A．.考点:演绎推理的基本方法.【题型】选择题【难度】较易【答案】3.C【解析】四面体的面可以与三角形的边类比，因此三边的中点也就类比成各三角形的中心，故选C．考点:类比推理.【题型】选择题【难度】较易【答案】4.C【解析】由题为分析法进行证明不等式，两边平方需保证两边的数为非负数，合理的证明为22)111()57(+>+.考点:分析法证明不等式及不等式性质的运用．【题型】选择题【难度】较易【答案】5.B【解析】由证明过程可知，推理的出发点是对同角三角平方关系的运用（即从定理出发），是直接证明中的综合法.考点:综合法．【题型】选择题【难度】一般【答案】6.C【解析】观察式子:232112<+，353121122<++，474131211222<+++，…，可归纳出，分母就是求和的项数，分子就是2乘以项数减去1，则得到的表达式为 n n n 121 31211222-<++++ . 考点:归纳推理.【题型】选择题【难度】一般【答案】7.C【解析】把圆看作一种特殊的圆锥曲线，它的长半轴为r ，短半轴为r ，πS r 2=⋅，椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，则πS ab =⋅.考点:类比推理.【题型】选择题【难度】一般【答案】8.C2222223()32b ac a a c ac a a c ac ⇔-<⇔+-<⇔-->0，即222222()02000a c c a a bc a a bc a ab ac bc -+>⇔+>⇔++>⇔--+> ()()0a b a c ⇔-->，故选C ．考点:分析法及推证格式．【题型】选择题【难度】一般【答案】9.D【解析】第1次操作为3325133+=，第2次操作为33313355++=，第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133，…，∴操作结果以3为周期，循环出现.∵2017=3×672+1，∴第2017次操作后得到的数与第1次操作后得到的数相同，∴第2017次操作后得到的数是133，故选D ．考点:归纳推理.【题型】选择题【难度】一般【答案】10.D【解析】（1）的结论的否定应该是2>+q p ，故错；（2）的否定是方程的两根至少有一个大于或等于1，故（2）正确．考点:反证法.【题型】选择题【难度】一般【答案】11.D【解析】由已知图形中座位的排列顺序，可得被5除余1的数，和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件．故选D考点:归纳推理.【题型】选择题【难度】一般【答案】12.C【解析】根据题图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a+7，a+8，a+9，第三层的五个数为a+14，a+15，a+16，a+17，a+18，这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104．由9a+104=1517，得a=157，是自然数．故选C．考点:合情推理.【题型】选择题【难度】较难二、填空题【答案】13.【解析】要比较21313=+=+要比较13+13+大小，>>考点:数或式的大小比较，分析法．【题型】填空题【难度】较易【答案】14.甲【解析】由题知，B、C的预测截然相反，必一对一错，因为只有一个对，不论B、C谁对，A必是一对一错，假设B的预测是对的，则丙是冠军，那么A说冠军也不会是乙也对，这与题目中“还有一人的两个判断一对一错”相矛盾，即假设不成立，所以B的预测是错误的，则C的预测是对的，所以甲是冠军．考点:推理的应用．【题型】填空题【难度】一般【答案】15.锐角三角形【解析】易得最大，则C该三角形为锐角三角形.考点:解三角形，类比推理.【题型】填空题【难度】一般【答案】 16.22(1)4n n + 【解析】由已知中的等式得，1=1；1+2=()212+；1+2+3=()2123++；1+2+3+4=()21234+++；1+2+3+4+5=()212345++++；…1+2+3+…+n ()212n =+++；即1+2+3+…+n 22(1)4n n +，故答案为22(1)4n n +． 考点:归纳推理【题型】填空题【难度】一般三、解答题【答案】17.详见解析【解析】证明:3322a b a b ab +-+=（）3232a a b b ab -+-（）2222)(()()a a b b b a a b a b =-+-=--（）2()()a b a b =-+.,a b +∈R ，2()0,0a b a b ∴-≥+>，2()()0a b a b ∴-+≥，3322a b a b ab ∴+≥+．考点:不等式证明.【题型】解答题【难度】较易【答案】18.见解析【解析】命题:长方体D C B A ABCD ''''-中(如图2)，对角线C A '与棱AB 、AD 、A A '所成的角分别为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα. 证明:∵C A AB '=αcos ，C A AD '=βcos ，C A A A ''=γcos ， ∴1cos cos cos 222222222=''=''++=++C A C A C A A A AD AB γβα. （此题答案不唯一）考点:类比推理.【题型】解答题【难度】一般【答案】19.(1)详见解析(2)详见解析【解析】证明:(1)要证67225+>+，只需证22(67)(225)>，即证13+24213240>+，>，上式显然成立，故原不等式成立．(2)假设1122b a a b++≥≥，， 因为0,0a b >>，所以12,12b a a b +≥+≥，所以222a b a b ++≥+，故2a b +≤，这与题设条件2a b +>相矛盾，所以假设错误， 因此，1b a +和1a b+中至少有一个小于2. 考点:分析法、反证法.【题型】解答题【难度】一般【答案】20.(1)详见解析(2)详见解析【解析】证明:(1)552332a b a b a b +--523532a a b b a b =-+-233233()()a a b b a b =---2233()()a b a b =--222()()()a b a ab b a b =-+++.∵,a b 都是正数，∴220,0a b a ab b +>++>，2()0a b -≥， 233255b a b a b a +≥+∴.(2)1()(2a a +--，只要证2222111()2(2)(2a a a a a a++-++-≥，即证1022(2)(6a a -++-≥，即证12(2)8a a+-≥即证12a a+≥，因为0a >，所以12a a +=≥，1()(2a a +--． 考点:不等式证明，【题型】解答题【难度】一般【答案】21.（1）见解析；（2）见解析．【解析】证明:（1）假设0a ≤，∵322a c b >>，∴30,20,20a c b ≤<<， 将上述不等式相加得3220a c b ++<， ∵(1)2a f =-，∴3220a cb ++=， 这与3220ac b ++<矛盾，∴假设不成立，∴0a >．（2）∵(1)2a b c a f ++==-，∴32c a b =--， ∴3232a c a b >=--，∴3a b >-． ∵22c b >，∴34a b ->．∵0a >，∴334b a -<<-． 考点:反证法，综合法．【题型】解答题【难度】一般【答案】21 / 21 22.（1）22G H ≥（2）M N ≥（3）M P N ≥≥【解析】（1）22G H ≥证明:欲证22G H ≥2xy x y+，即证1≥，即证x y +≥22G H ≥. （2）M N ≥.证明:欲证M N ≥，即证22x y xy x y++≥+22x y xy x y ++≥+x y =，所以原命题成立． （2）M P N ≥≥.首先证明M P ≥:欲证M P ≥，即证x y +≥，即证222222x y x y xy xy +++≥+2()2x y +≥ 422()8()x y xy x y +≥+，即证4()0x y -≥，上式显然成立，等号成立的条件是x y =，故M P ≥．再证P N ≥:欲证P N ≥x y =时，上式显然成立，当x y ≠时，即证x y +≥M P ≥已经成功证明，所以原命题成立. 考点:用分析法证明，基本不等式．【题型】解答题【难度】较难。