三角函数图象的对称性质及其应用
观察三角函数的图象，不难发现它们都具有对称性 ，虽然历届高考中关于三角函数图象的对称性问题屡有涉及，但教材中却是一个盲点。

为此，本文谈谈三角函数图象的对称性质及其应用。

一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形
性质1、函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；
)sin(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)sin(±=+ϕωx ，得
2ππϕω+=+k x )(Z k ∈，则ω
ϕπ22)12(-+=
k x ，所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程为ωϕπ22)12(-+=k x ； )cos(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)cos(±=+ϕωx ，得πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕπ-=
k x ，所以函数)cos(ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程为ωϕ
π-=k x 。

例1、函数)62sin(3π+
=x y 图象的一条对称轴方程是（ ） （A ）0=x （B ）32π=x （C ）6π-=x （D ）3π=x 解：由性质1知，令1)62sin(3±=+π
x 得262π
ππ
+=+k x )(Z k ∈，即
62ππ+=k x )(Z k ∈，取1=k 时，3
2π=x ，故选（B ）。

例2、函数)3
3cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是 解：由性质1知， 令1)33cos(±=+π
x 得ππ
k x =+33)(Z k ∈，即
93ππ-=
k x )(Z k ∈，所以)3
3cos()(π+=x x f 的图象的对称轴方程是9
3ππ-=k x )(Z k ∈。

二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形 性质2、函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(
ϕω+=x A y 的图象关于其与x 轴的交点分别成中心对称图形；
)sin(ϕω+=x A y 的对称中心求法是：令0)sin(=+ϕωx ，得πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕπ-=
k x )(Z k ∈，所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象关于点)0,(ωϕ
π-k )(Z k ∈成中心对称；
)cos(ϕω+=x A y 对称中心的求法是：令0)cos(=+ϕωx ，得
2
ππϕω+=+k x )(Z k ∈，则ω
ϕπ22)12(-+=k x )(Z k ∈，所以函数)cos(ϕω+=x A y 的图象关于点)0,22)12((ωϕπ-+k )(Z k ∈成中心对称； 例3、函数)6
2sin(4π-=x y 的图象的一个对称中心是（ ） （A ）)0,12(π （B ）)0,3(π （C ）)0,6(π- （D ）)0,6
(π 解：由性质2知，令0)62sin(=-πx 得ππk x =-62)(Z k ∈，即122ππ+=k x )(Z k ∈，取0=k 时，12
π=x ，故选（A ）。

例4、函数)8
21cos(2π-=x y 的图象的对称中心是 解：由性质2知， 令0)821cos(=-πx 得2
821πππ+=-k x )(Z k ∈，即452ππ+=k x )(Z k ∈，所以函数)8
21cos(2π-=x y 的图象的对称中心是)0,4
52(ππ+k )(Z k ∈。

三、正切曲线和余切曲线都是中心对称图形 性质3、函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的图象关于其与x 轴的交点分别成中心对称图形；
)tan(ϕω+=x A y 对称中心的求法是：令0)tan(=+ϕωx ，得πϕωk x =+)(Z k ∈，则ωϕπ-=
k x ，所以函数)tan(ϕω+=x A y 的图象关于点
)0,(ωϕπ-k )(Z k ∈成中心对称；
)cot(ϕω+=x A y 对称中心求法是：令0)cot(=+ϕωx ，得2π
πϕω+=+k x )(Z k ∈，则ω
ϕπ22)12(-+=k x ，所以函数)cot(ϕω+=x A y 的图
象关于点)0,22)12((ωϕ
π-+k )(Z k ∈成中心对称； 例5、求函数)32tan(3π
+=x y 的对称中心的坐标。

解：由性质3知， 令0)32tan(=+π
x 得ππ
k x =+32)(Z k ∈，即
62π
π-=k
x )(Z k ∈，所以函数)32tan(3π
+=x y 的图象的对称中心是
)0,62(π
π-k
)(Z k ∈。