5.2.2 二次型的标准型
定义2 定义 只含有平方项的二次型叫做二次型的 二次型的 标准型. 标准型 二次型的标准型与对角矩阵是一一对应的,因 此化二次型为标准型的问题,也转化为: 如何 将n阶对称矩阵化为对角型.
定理1 定理
对于任意可逆矩阵P,若A为对称矩阵,
则 B=PTAP 也是对称矩阵,且R(A)=R(B) 上述定理说明,二次型经可逆变换作用后,仍 变为二次型,且两个二次型矩阵的秩不变 二次型矩阵的秩不变. 二次型矩阵的秩不变 因此,也将二次型 f 所对应的对称矩阵A的秩 二次型的秩. 叫做二次型的秩 二次型的秩
例1 当n=3时, 三维向量α =(a1, a2, a3),
β =(b1, b2, b3) 的内积 αβT=a1b1+a2b2+a3b3.
若αβT=0, 表示α与β 垂直(也就是α与β 正 交).
例2 设有四个四维向量α1=(1, 1, 1, 1),
α2=(1, -1, -1, 1), α3=(1, -1, 1, -1), α4=(1, 0, 0, 0).
2 2 f ( x1 , x2 ,L , xn ) = a11 x12 + a22 x2 + L + ann xn
+2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + L + 2an −1,n xn −1 xn
称为实数域 上的 元二次型 实数域R上的 元二次型,简称实二次型 实二次型. 实数域 上的n元二次型 实二次型
╳
1, i = j βi β = (i, j = 1, 2,L n) 0, i ≠ j
T j
6) 若A, B为n阶正交矩阵,则AB, BA也是n 阶正交矩阵. .
定理3 正交矩阵的特征值的模等于1.
定义5 正交矩阵, 定义 设A是n阶正交矩阵 X为任意一个 正交矩阵 n维向量,则称 Y=AX 为正交变换 正交变换. 正交变换
2 2 | α |= αα T = a12 + a2 + L + an
则称非负实数|α|为向量α 的长度 长度. 长度 当|α|=1时,称α 为n维单位向量.
注意, 当α 为列向量时, 其长度可定义为:
| α |= α α
T
一般地, 当非零向量α 不是单位向量时,可令
β=
1 |α |
α
使|β|=1, 此过程称为把非零向量α单位化 把非零向量 单位化.
正交的. 则α1与α2, α1与α3 , α2与α3都是正交 正交
内积的性质
1)对称性 αβT=βαT 2)齐次性 (λα)βT=λ(αβT) α 3)可加性 (α+β)γT=αγT+βγT 4)非负性 ααT≥0,当且仅当α=0时ααT=0
α是行向量
定义2 定义 设α =(a1, a2, …, an), 令
αi=k1α1+…+ ki-1αi-1 + ki+1αi+1 +…+knαn
用(αi)T右乘上式两端,
左端=αi (αi)T =|αi|2≠0 矛盾(左端不等于右端 矛盾 左端不等于右端). 左端不等于右端
(由于αi非零)
右端=(k1α1+…+ ki-1αi-1 + ki+1αi+1 +…+knαn) (αi)T =0 因此,非零正交向量组线性无关.
正交法二次型为标准型的方法
1) 写出二次型 f=XTAX 中的实对称矩阵A; 2) 由特征方程 |λI-A|=0,求得A的n个特征值λ1,
λ2, ..., λn (重根按重数计算);
3) 对每一个相异的λi, 由齐次方程组(λiI-A)X=0, 求得A的对应于λi的线性无关的特征向量;
4)将每一个对应的线性无关特征向量先正交 化再单位化,构成正交矩阵P; , P; 5)写出相应的正交变换X=PY及二次型的标准 型.
第五章 二次型
§5.1 正交矩阵
5.1.1 向量的内积与正交概念
定义1 定义 设有n维实向量
α =(a1, a2, …, an), β =(b1, b2, …, bn),
定义α与β 的内积 的内积为
αβT=a1b1+a2b2+…+anbn.
特别地, 当内积αβT=0时, 称α与β是正交 正交的,否 正交 不正交的. 则称为不正交 不正交
5.1.4 实对称矩阵的相似对角阵
定理5 实对称矩阵A的特征值 定理 都是实数.
定理6 定理 实对称矩阵A的两个不同特 征值对应的特征向量相互正交.
定理7 定理 n阶实对称矩阵A有n个线性无关 的实特征向量, 且A与实对角矩阵相似.
定理8 定理 设A为n阶实对称矩阵,则必有正交矩 阵P,使得 P-1AP=PTAP=D=diag{λ1, λ2, …, λn} 其中λ1, λ2, …, λn恰为矩阵A的n个特征值(重 根按重数计记入).
n维向量的长度的性质
1)非负性 |α|≥0, 当且仅当α=0时|α|=0; 2)齐次性 |kα|=|k||α|; 3)单位化 若α≠0,则α/(|α|)是单位向量; 4)三角不等式 |α+β| ≤|α|+|β |; 5)柯西-施瓦茨不等式 (αβT)2≤|α|2|β |2; 等号成立的充要条件是α与β线性相关.
求正交矩阵P的步骤为:
1)求出n阶实对称矩阵A的相异特征值λ1,λ2,…, λs; 2) 2)对每个特征值λi解方程组(λiI-A)X=0,求出它的一 ( I-A)X=0, 个基础解系,然后把它们先正交化再单位化; 3)将所求得的n个相互正交的单位特征向量X1,
X2, …, Xn作为列向量依次排成的矩阵P就是所要
求的正交矩阵.
例9 设三阶矩阵
1 2 2 A = 2 1 2 2 2 1
求正交矩阵P,使PTAP为对角矩阵.
§5.2 二次型及其标准形
5.2.1 二次型的基本概念
定义1 定义 若系数aij∈R (i=1,2,…,n; j≥i), 则含n 个实变量x1, x2,…, xn的二次齐次多项式
例5 用正交变换化二次型
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 2 x1 x4 − 2 x2 x3 + 2 x3 x4 + 2 x2 x4
为标准型.
§5.4 正定二次型
5.4.1 惯性定理
定理1(惯性定理 定理 惯性定理) 设有二次型 f=XTAX, 且 惯性定理 R(A)=r, 则利用任意一个可逆变换化二次型为 标准形时,其标准形中的正负平方项个数都是 确定的,且其和为r.
定义3 定义 设A, B为n阶方阵,若存在n阶可逆矩阵 P,使得PTAP=B,则称A与B合同合同,其中P称为合同 与 合同 因子阵.
矩阵合同的性质
1）自反性——A与A合同； 2）对称性——A与B合同，则B与A合同； 3）传递性——A与B合同，B与C合同，则A 与C合同。
定理2 任一 n 元二次型 f=XTAX 经可逆变 定理 换 X=PY 后变为新二次型 f=YTBY, 且所得二 次型 矩阵B 与原矩阵 A 合同. 定理3 定理 合同矩阵有相同的秩.
a11 a21 f ( x1 , x2 ,L xn ) = ( x1 , x2 ,L xn ) M an1
a12 a22 M an1
L a1n x1 L a2 n x2 = X T AX O M M L ann xn
定理2(Schmidt正交化方法 正交化方法) 定理 正交化方法 设α1, α2, …, αm是一个n维线性无关向量组,则由下 述公式
β1 = α1 T k −1 α k βi β k = α k − ∑ β β T βi , (k = 2,3,L , m) i =1 i i
所得向量组β1, β2, …, βm是一个相互正交的向量组.
特别地,取aij=aji, 则2aijxixj=aijxixj+ajixjxi, 则二 次型可改写为
f ( x1 , x2 ,L xn ) = ∑∑ aij xi x j
i =1 j =1 n n
取X=(x1, x2, …, xn)T, A=(aij)n×n , 则X为n维列 向量, A为n阶实对称矩阵.利用矩阵的乘法,可 将二次型改写为矩阵形式:
定义3 定义 若向量组α1, α2, …, αs中的向量两两 正交，则称该向量组是一个正交向量组 正交向量组；若 正交向量组 向量组α1, α2, …, αs中的任一向量与向量组β1,
β2, …, βt中的任一向量两两正交，则称两向
量组是相互正交的 相互正交的。 相互正交的
例3 试证n维向量组
例4 已知两个三维向量α =(1, 1, 1)T, β=(1, -2, 1)T 正交,试求一个非零向量γ, 使得γ与α , β 两两正交.
1, i = j α αj = (i, j = 1, 2,L n) 0, i ≠ j
T i
5) n阶实方阵A=(aij)n n为正交矩阵的充要条件是A β1 β2 的行向量为一个相互正交的单位向量组,即 A = M βn 为正交矩阵的充要条件是：
例6
5.1.3 正交矩阵
定义4 定义 设A为n阶矩阵,若 ATA=I, 则称A为n阶正交矩阵 正交矩阵. 正交矩阵
正交矩阵的性质
1) 若AAT=I, 则A为正交矩阵; 2) 若AT= A-1, 则A为正交矩阵; 3) |A|=+1;
4)n阶实方阵A=(aij)n
╳
n为正交矩阵的充要条
件是A的列向量为一个相互正交的单位向量 A 组,即A=(α1, α2, …, αn)为正交矩阵的充要条 件是：