（江苏专版）高考数学一轮复习第九章解析几何第八节曲线与方程教案理（含解析）苏教版第八节 曲线与方程1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F 1x ，y ＝0，F 2x ，y ＝0的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点．[小题体验]1．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹方程为________．解析：设P 点的坐标为(x ，y )，∵A (－2,0)，B (1,0)，动点P 满足PA ＝2PB ， ∴x ＋22＋y 2＝2x －12＋y 2，平方得(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]， 化简得(x －2)2＋y 2＝4，∴点P 的轨迹是以(2,0)为圆心、2为半径的圆，方程为(x －2)2＋y 2＝4.答案：(x －2)2＋y 2＝42．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM ＝M Q ，则Q 点的轨迹方程是________．解析：设Q(x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得Q 点的轨迹方程为2x －y ＋5＝0.答案：2x －y ＋5＝03．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是________．解析：因为抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，设线段PF 的中点坐标是(x ，y )，则P (2x,2y －1)在抛物线x 2＝4y 上，所以(2x )2＝4(2y －1)，化简得x 2＝2y －1.答案：x 2＝2y －11．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．2．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响． [小题纠偏]1．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM ―→·PN ―→＝0，则P 点的轨迹是________． 解析：因为PM ―→·PN ―→＝0，所以PM ⊥PN . 所以点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆． 答案：以线段MN 为直径的圆2．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0(a ＞0)，且满足条件 sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________．解析：由正弦定理得AB 2R －AC 2R ＝12×BC2R，即AB －AC ＝12BC ，故动点A 是以B ，C 为焦点，a2为实轴长的双曲线右支．即动点A 的轨迹方程为16x 2a 2－16y23a 2＝1(x ＞0且y ≠0)．答案：16x 2a 2－16y23a2＝1(x ＞0且y ≠0)考点一 直接法求轨迹方程 基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是________． 解析：设P 点的坐标为(x ，y )， 则x －12＋y ＋22＝3x 2＋y 2，整理得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0. 答案：8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝02．已知M (－2,0)，N (2, 0)，求以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程． 解：设P (x ，y )，因为△MPN 为以MN 为斜边的直角三角形， 所以MP 2＋NP 2＝MN 2，所以(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16， 整理得x 2＋y 2＝4.因为M ，N ，P 不共线，所以x ≠±2， 所以轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．3．设F (1,0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN ―→＝2MP ―→，PM ―→⊥PF ―→，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．解：设M (x ′，0)，P (0，y ′)，N (x ，y )， 由MN ―→＝2MP ―→，得(x －x ′，y )＝2(－x ′，y ′)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －x ′＝－2x ′y ＝2y ′，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ，y ′＝y2.因为PM ―→⊥PF ―→，PM ―→＝(x ′，－y ′)，PF ―→＝(1，－y ′)， 所以(x ′，－y ′)·(1，－y ′)＝0， 即x ′＋y ′2＝0， 所以－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝0，即y 2＝4x .因此所求的轨迹方程为y 2＝4x .[谨记通法]直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．但要注意完备性易忽视．考点二 定义法求轨迹方程重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2017·扬州模拟)△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________________．解析：如图，AD ＝AE ＝8，BF ＝BE ＝2，CD ＝CF ，所以CA －CB ＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支， 方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．答案：x 29－y 216＝1(x ＞3)2．(2019·常熟中学检测)已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，那么动圆圆心M 的轨迹方程________．解析：由题意知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切， ∴动点M 到C (0，－3)的距离与到直线y ＝3的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹是以C (0，－3)为焦点，直线y ＝3为准线的抛物线， 故所求M 的轨迹方程为x 2＝－12y . 答案：x 2＝－12y[由题悟法]定义法求曲线方程的2种策略(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，其方程是何形式的情况，利用条件把待定系数求出来，使问题得解．[即时应用]1．(2019·海门中学检测)已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0,4)，则顶点A 的轨迹方程是________．解析：∵△ABC 的周长为20，顶点B (0，－4)，C (0,4)， ∴BC ＝8，AB ＋AC ＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A 到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A 的轨迹是椭圆，∵a ＝6，c ＝4，∴b 2＝20，∴椭圆的方程为x 220＋y 236＝1(x ≠0)．答案：x 220＋y 236＝1(x ≠0)2．如图，已知△ABC 的两顶点坐标A (－1，0)，B (1,0)，圆E 是 △ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，CP ＝1，动点C 的轨迹为曲线M .求曲线M 的方程．解：由题知CA ＋CB ＝CP ＋C Q ＋AP ＋B Q ＝2CP ＋AB ＝4＞AB ，所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)．设曲线M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，则a 2＝4，b 2＝a 2－12＝3，所以曲线M ：x 24＋y 23＝1(y ≠0)为所求．考点三 代入法求轨迹方程重点保分型考点——师生共研[典例引领]如图，已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于M .若PN ―→＝λNM ―→.(1)求N 点的轨迹方程；(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．解：(1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )， 则M 的坐标为(x 1,0)，且x ＝x 1， 所以PN ―→＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)， NM ―→＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )，由PN ―→＝λNM ―→得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )． 所以y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y . 因为P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2＝1上，则x 214＋y 21＝1，所以x 24＋(1＋λ)2y 2＝1， 故x 24＋(1＋λ)2y 2＝1即为所求的N 点的轨迹方程． (2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14，解得λ＝－12或λ＝－32.所以当λ＝－12或λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．[由题悟法]代入法求轨迹方程的4个步骤 (1)设出所求动点坐标P (x ，y )．(2)寻求所求动点P (x ，y )与已知动点Q(x ′，y ′)的关系． (3)建立P ，Q 两坐标间的关系，并表示出x ′，y ′. (4)将x ′，y ′代入已知曲线方程中化简求解．[即时应用]1．(2019·丰县中学检测)定长为3的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，动点P 满足BP ―→＝2PA ―→，求点P 的轨迹方程．解：设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，由BP ―→＝2PA ―→，得(x ，y －y 0)＝2(x 0－x ，－y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0－2x ，y －y 0＝－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32x ，y 0＝3y ，又因为AB 的定长为3，所以x 20＋y 20＝9，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9，化简得x 24＋y 2＝1，故点P 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.2．已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)，经过点M ⎝⎛⎭⎪⎫33，0的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB ―→＝－2MA ―→.若点B 的坐标为(0,2)，求曲线E 的方程．解：设A (x 0，y 0)，因为B (0,2)，M ⎝⎛⎭⎪⎫33，0， 故MB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，2，MA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－33，y 0.由于MB ―→＝－2MA ―→， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－33，y 0.所以x 0＝32，y 0＝－1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1. 因为A ，B 都在曲线E 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ·02＋b ·22＝1，a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋b ·－12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14.所以曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线是______________．解析：由(x ＋y －1)x －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.所以方程表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1.答案：射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝12．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB ―→⊥BC ―→，则动点C 的轨迹方程为________．解析：由题意得AB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，由AB ―→⊥BC ―→，得AB ―→·BC ―→＝0，即2x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·y2＝0，所以动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x3．(2018·江苏太湖高级中学检测)若动点P (x ，y )满足条件|x ＋42＋y 2－x －42＋y 2|＝6，则点P 的轨迹是________．解析：|x ＋42＋y 2－x －42＋y 2|＝6表示点P 到(4,0)，(－4,0)两点的距离的差的绝对值为6，根据定义得点P 轨迹是双曲线．答案：双曲线4．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且PA ＝1，则P 点的轨迹方程为________．解析：如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连结MA ，PM ， 则MA ⊥PA ，且MA ＝1，又因为PA ＝1， 所以PM ＝MA 2＋PA 2＝2， 即PM 2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝25．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )，满足PA ―→·PB ―→＝x 2－6，则动点P 的轨迹方程是________．解析：因为动点P (x ，y )满足PA ―→·PB ―→＝x 2－6， 所以(－2－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2－6，即y 2＝x ， 所以动点P 的轨迹方程是y 2＝x . 答案：y 2＝x6．已知定点A (4,0)和圆x 2＋y 2＝4上的动点B ，动点P (x ，y )满足OA ―→＋OB ―→＝2OP ―→，则点P 的轨迹方程为________．解析：设B (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧4＋x 0＝2x ，y 0＝2y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ，代入圆方程得(2x －4)2＋4y 2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1. 答案：(x －2)2＋y 2＝1二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·盐城一模)设点Q(2,0)，圆C ：x 2＋y 2＝1，若动点M 到圆C 的切线长与M Q 长的比等于2，则动点M 的轨迹方程是________．解析：如图，设MN 切圆于N ，则动点M 满足MN ＝2M Q ， ∵圆的半径ON ＝1， ∴MN 2＝MO 2－ON 2＝MO 2－1. 设点M 的坐标为(x ，y )， 则x 2＋y 2－1＝2x －22＋y 2，化简得3x 2＋3y 2－16x ＋17＝0.答案：3x 2＋3y 2－16x ＋17＝02．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动，AC ―→＝2CB ―→，则点C 的轨迹方程为________________．解析：设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9，① 又AC ―→＝2CB ―→，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，②代入①式整理可得x 2＋y 24＝1.答案：x 2＋y 24＝13．已知A (－1,0)，B (1,0)两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若MN ―→2＝λAN ―→·NB ―→，当λ＜0时，动点M 的轨迹为________．解析：设M (x ，y )，则N (x,0)，所以MN ―→2＝y 2，λAN ―→·NB ―→＝λ(x ＋1,0)·(1－x,0)＝λ(1－x 2)，所以y 2＝λ(1－x 2)，即λx 2＋y 2＝λ，变形为x 2＋y 2λ＝1.又因为λ＜0，所以动点M 的轨迹为双曲线．答案：双曲线4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段A Q 的垂直平分线与C Q 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为________．解析：因为M 为A Q 垂直平分线上一点， 则AM ＝M Q ，所以MC ＋MA ＝MC ＋M Q ＝C Q ＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y221＝1.答案：4x 225＋4y221＝15．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ―→＝2PA ―→，且O Q ―→·AB ―→＝1，则点P 的轨迹方程是________．解析：设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0. 由BP ―→＝2PA ―→，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )， 即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.即AB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ，点Q(－x ，y )，故由O Q ―→·AB ―→＝1，得(－x ，y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ＝1， 即32x 2＋3y 2＝1. 故所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．答案：32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)6.(2019·扬州一模)如图，已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，过点Q 作y 轴的垂线，垂足为N ，线段Q N 的中点为M ，则点M 的轨迹方程为________．解析：因为点F 2关于∠F 1PF 2的外角平分线P Q 的对称点Q ′在直线F 1P 的延长线上，故F 1Q ′＝PF 1＋PF 2＝2a ＝4，又O Q 是△F 2F 1Q ′的中位线，所以O Q ＝12F 1Q ′＝2，设M (x ，y )，则Q(2x ，y )， 所以有4x 2＋y 2＝4.故点M 的轨迹方程为y 24＋x 2＝1.答案：y 24＋x 2＝17．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 和点M (－2,0)，N (2,0)满足|MN ―→|·|MP ―→|＋MN ―→·NP ―→＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为________．解析：因为|MN ―→|·|MP ―→|＋MN ―→·NP ―→＝0， 所以4x ＋22＋y 2＋4(x －2)＝0，化简变形，得y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x8．(2019·通州一模)已知⊙C ：(x ＋1)2＋y 2＝36及点A (1,0)，点P 为圆上任意一点，AP 的垂直平分线交CP 于点M ，则点M 的轨迹方程为________．解析：由圆的方程可知，圆心C (－1,0)，半径等于6，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵AP 的垂直平分线交CP 于M ，∴MA ＝MP ，又MP ＋MC ＝6，∴MC ＋MA ＝6＞AC ＝2，∴点M 满足椭圆的定义，且2a ＝6,2c ＝2，∴a＝3，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝8，∴点M 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1. 答案：x 29＋y 28＝1 9．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP ―→＝22PB ―→，求点P 的轨迹方程． 解：设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，由已知知AP ―→＝22PB ―→， 又AP ―→＝(x －x 0，y )，PB ―→＝(－x ，y 0－y )，所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )， 得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y . 因为AB ＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2， 化简得x 22＋y 2＝1. 即点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1. 10．已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PB Q 的角平分线，证明：直线l 过定点．解：(1)如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意O 1A ＝O 1M ，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点．所以O 1M ＝x 2＋42，又O 1A ＝x －42＋y 2， 所以x －42＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，所以动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x ，得k 2x 2＋(2kb －8)x ＋b 2＝0.则Δ＝－32kb ＋64＞0.且x 1＋x 2＝8－2kb k2，① x 1x 2＝b 2k2，② 因为x 轴是∠PB Q 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2kb )＋2k 2b ＝0，所以k ＝－b ，此时Δ＞0，所以直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校在平面直角坐标系xOy 中，已知两点M (1，－3)，N (5,1)，若点C 的坐标满足OC ―→＝t OM ―→＋(1－t )ON ―→(t ∈R)，且点C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)在x 轴上是否存在一点P (m,0)，使得过点P 任作一条抛物线的弦，并以该弦为直径的圆都过原点．若存在，求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由OC ―→＝t OM ―→＋(1－t )ON ―→ (t ∈R)，可知点C 的轨迹是M ，N 两点所在的直线，所以点C 的轨迹方程为y ＋3＝1－－35－1(x －1)， 即y ＝x －4.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －4，y 2＝4x ，化简得x 2－12x ＋16＝0,设C 的轨迹方程与抛物线y 2＝4x 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16，y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝－16，因为OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝16－16＝0,所以OA ⊥OB .(2)假设存在这样的P 点，并设AB 是过抛物线的弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其方程为x ＝ny ＋m ，代入y 2＝4x 得y 2－4ny －4m ＝0,此时y 1＋y 2＝4n ，y 1y 2＝－4m ，所以k OA k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 214·y 2y 224＝16y 1y 2＝－4m＝－1， 所以m ＝4(定值)，故存在这样的点P (4,0)满足题意． 设AB 的中点为T (x ，y )，则y ＝12(y 1＋y 2)＝2n ，x ＝12(x 1＋x 2)＝12(ny 1＋4＋ny 2＋4)＝n 2(y 1＋y 2)＋4＝2n 2＋4，消去n 得y 2＝2x －8.。