2018北京市十一学校高三下学期第二次综合测试（2018、5） 一、单选题（每小题5分，共8小题，共40分）
1、已知{31}x A x =<，{B x y ==
，则A B =（ ）
A. [3,0)-
B. [3,0]-
C. (0,)+∞
D. [3,)-+∞ 2、若复数z 满足1zi
z i
=-，其中i 是虚数单位，则复数z 的共轭复数为（ ） A. 1122i -+ B. 1122
i -- C.
1122i - D. 1122
i + 3、已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ） A.
11
0x y -> B. sin sin 0x y -> C. 11()()02
2
x y -< D. ln ln 0x y +>
4、已知:p 0x ∃>，1x e ax -<成立， :q 函数()(1)x f x a =--是减函数， 则p 是q 的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 5、若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）
A. 21()1x e f x x -=-
B. 2()1
x
e f x x =-
C. 321()1x x f x x ++=-
D. 42
1
()1
x x f x x ++=- 6、四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币 . 若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着 . 那么不存在相邻的两个人站起来的概率为（ ） A.
14 B. 716 C. 12 D. 9
16
7、在平面直角坐标系中，如果我们定义两点11(,)A x y ，22(,)B x y 的距离
1212(,)max{,}d A B x x y y =--，则单位圆（到原点(0,0)O 的距离等于1的所有点的
轨迹）的面积为（ ）
A. π
B. 1
C. 2
D. 4
8、已知点(1,1)A --，若曲线T 上存在两点B ，C ，使ABC ∆为正三角形，则称T 为“正三角形”曲线 . 给定下列三条曲线： ①30x y +-=（03x ≤≤）；
②222x y +=（0x ≤≤）； ③1
(0)y x x
=->.
其中“正三角形”曲线的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3 二、填空题（每小题5分，共6题，共30分）
9、已知角α终边经过点(2sin 2,cos 2)P -，则sin α=______ ；
10、过双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的右焦点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E ，
O 为坐标原点，若2OFE EOF ∠=∠，则b =______ ；
11、已知ABC ∆所在平面内有两点P ，Q ，满足0PA PC +=，QA QB QC BC ++=，若4AB =，2AC =，2
3
APQ S ∆=
，则AB AC ⋅的值为______ . 12、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，且对任意的*,p q N ∈，都有
p q p q a a a +=+，则60
()1
n S f n n +=
+（*n N ∈）的最小值为______ .
13、某企业生产甲、乙两种产品均需要A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、
4万元，则该企业每天可获得最大利润为_________ 万元 .
14、已知函数32,,
()ln ,x x x e f x a x x e
⎧-+<=⎨≥⎩，
①若当1a =时，()f x t -有三个零点，则t 的取值范围为___________ ； ②若()f x 的图象上存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则a 的取值范围是_________ . 三、解答题（共6题，共80分）
15、（13分）如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，2PC =，4AP AC += .
（I ）求ACP ∠；
（II ）若APB ∆sin BAP ∠ .
16、（12分）2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程 . 某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如下表：
（I）若该班女生人数比男生人数多4人，求该班女生人数和男生人数；
（II）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；
（III）若从抽取的样本中随机选取2人参加“北京2022年冬奥会”宣传活动，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望 .
17、（14分）
如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，1
22
AB AD BC ==
=，E 是BC 的中点，AE
BD M =，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使平面1B AE ⊥平面AECD .
（I ）求证：CD ⊥平面1B DM ； （II ）求二面角1D AB E --的余弦值；
（III ）在线段1B C 上是否存在点P ，使得MP ∥平面1B AD ，若存在，求出1
B P
B C
的值；若不存在，说明理由 .
18、（13分）已知抛物线2
=>，其焦点为F，过F且斜率为1的直线
:2(0)
E x py p
被抛物线截得的弦长为8.
（1）求抛物线E的方程；
（2）设A为抛物线E上一动点（异于原点），E在点A处的切线交x轴于点P，原
∆面积的最大点O关于直线PF的对称点为点B，直线AB与y轴交于点C，求OBC
值 .
19、（14分）
已知函数1()x f x e a -=+，函数()ln g x ax x =+，a R ∈. （I ）若曲线()y f x =与直线y x =相切，求a 的值； （II ）在（I ）的条件下，证明：()()1f x g x ≥+；
（III ）若函数()f x 与函数()g x 的图象有且仅有一个公共点00(,)P x y ，证明：02x <.
20、（14分）
某条公路上依次有10个车站0A ，1A ，
，9A ，相邻两站（如0A 与1A ，1A 与2A ）间
距离均为1km ，某货车从0A 站出发，跑遍各站，运送货物，且货车在每站只停留一次，最终返回0A 站，由于货运需要，货车不一定顺次停车 . （如可能从出发到返回依次停车于
05487362910A A A A A A A A A A A →→→→→→→→→→）；
（I ）若货车按上述示例送货，其总里程是多少？（写出结果即可） （II ）求该货车可能行驶的最小里程？
（III ）求该货车可能行驶的最大里程？并求达到该最大里程的停靠方案数有多少种？
答案
一、ABCB BBDC
二、9、cos 2-； 10 11、± 12、292；
13、18； 14、①4(0,
)27，②1
(0,]1
e +
三、 15、
16、
17、
18、
19、
20、。