《圆》复习（2）知识点与典型题型知识点1：圆的定义：1. 圆上各点到圆心的距离都等于.2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是对称图形，是它的对称中心.例1、(2009太原市)如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿»OA AB BO--的路径运动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是( )例2、(2009荆门市)如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．(1)求证：A、E、C、F四点共圆；(2)设线段BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM=ND．知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的.3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是.例3、(2008年泰州市)如图，⊿ABC内接于⊙O，AD是⊿ABC的边BC上的高，AE是⊙O 的直径，连接B E，⊿ABE与⊿ADC相似吗？请证明你的结论。

知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .例4、(2008呼伦贝尔)如图：=，D E ，分别是半径OA 和OB 的 中点，CD 与CE 的大小有什么关系？为什么？知识点4：垂径定理垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦(不是直径)的 垂直于弦，并且平分 .例5、(2009南宁)如图，AB O 是⊙的直径，303cm CD AB E CDB O ⊥∠=于点，°，⊙的半径为， 则弦CD 的长为( ) A ．3cm 2B ．3cmC ．23cmD ．9cm例6、(2008南通)已知：如图，M 是⌒AB 的中点，过点M 的弦MN 交AB 于点C ，设⊙O 的半径为4cm ，MN ＝43cm ． (1)求圆心O 到弦MN 的距离； (2)求∠ACM 的度数．知识点5：确定圆的条件三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的 、这个三角形是圆的 .例7、(2009年新疆)如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点A B C ，，，已知A 点的坐标是(35)-，，则该圆弧所在圆的圆心坐标是___________．AB C MNO ·知识点6：点与圆的位置关系(1)点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外. 其中r 为圆的半径，d 为点到圆心的距离， 位置关系点在圆内 点在圆上 点在圆外数量(d 与r)的大小关系 d ＜rd ＝rd ＞r例8、(2009年江西省)在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a , ⊙A 的半径为2.下列说法中，不正确．．．的是( ) A ．当a ＜5 时，点B 在⊙A 内 B ．当1＜a ＜5 时，点B 在⊙A 内 C ．当a ＜1 时，点B 在⊙A 外 D ．当a ＞5 时，点B 在⊙A 外知识点7：直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交 、相切、相离．设r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表： 位置关系 相离 相切 相交 公共点个数 0 1 2 数量关系d ＞rd ＝rd ＜r例9、菱形对角线的交点O ，以O 为圆心，以O•到菱形一边的距离为半径的圆与其它几边的关系为( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．不能确定 例10、（2009年新疆)如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．知识点8：切线的判定与性质判定切线的方法有三种：①利用切线的定义：即与圆有 惟一公共点 的直线是圆的切线。

②到圆心的距离等于 半径 的直线是圆的切线。

③经过半径的外端点并且 垂直 于这条半径的直线是圆的切线。

切线的五个性质：①切线与圆只有 一个 公共点；②切线到圆心的距离等于圆的 半径 ；③切线垂直于经过切点的 半径 ；④经过圆心垂直于切线的直线必过 切点 。

⑤经过切点垂直于切线的直线必过•ABPCEF•O圆心。

例11、（2010山东德州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．知识点9：切线长定理经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.例12、(2009年钦州市)如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在»AB上，若PA长为2，则△PEF的周长是_ _．例13、（2010浙江杭州）如图, 已知△ABC,6==BCAC，︒=∠90C．O是AB的中点，⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G. 则CG=.BACDEGO FCP DOBAEA B单位：mml 1l 2知识点10：三角形内切圆和三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，三角形内切圆的圆心叫三角形的 . 例14、（2010 四川泸州）如图7,已知⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆,则⊙O 的面积为__________.例15、（2010广东广州）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是¼APB 上任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ．（1）求弦AB 的长；（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC 的面积为S ，若2SDE＝43，求△ABC 的周长.知识点11：圆和圆的位置关系设两圆半径分别为R 和r 。

圆心距为d 。

(R ＞r) 1. 两圆外离 _____________； 2. 两圆外切_____________； 3. 两圆相交______________； 4. 两圆内切_____________；5. 两圆内含______________.例16、（2010浙江绍兴）如图为某机械装置的截面图,相切的两圆⊙O 1, ⊙O 2均与⊙O 的弧AB 相切,且O 1O 2∥l 1( l 1为水 平线)，⊙O 1,⊙O 2的半径均为30 mm ,弧AB 的 最低点到l 1的距离为30 mm ,公切线l 2与l 1间的 距离为100 mm .则⊙O 的半径为( )A.70 mmB.80 mmC.85 mmD.100 mm例17、（2010湖北省咸宁）如图6，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为 A ．35︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒例18、 (2009年滨州)已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d ，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是( ) A ．01d <<B ．5d >C ．01d <<或5d >D ．01d <≤或5d >例19、如图所示，点A 坐标为(0，3)，⊙A 半径为1，点B 在x 轴上． (1)若点B 坐标为(4，0)，⊙B 半径为3，试判断⊙A 与⊙B (2)若⊙B 过M(－2，0)且与⊙A 相切，求B 点坐标．知识点13正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的______，外接圆的半径叫做正多边形的______；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的________，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的_______；正n(n ≥3)边形的计算通常转化为在由______、______、________构成的直角三角形中解直角三角形，其中，半边长所对的锐角等于______度. 例19、（2010福建省南平）如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形ABCDEF ，点P 沿直线AB 从右向左移动，当出现点P 与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时，就会发出警报，则直线AB 上会发出警报的点P 有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个例20、（2010 嵊州市）如图，7根圆柱形木棒的横截面圆的半径均为1，则捆扎这7根木棒一周的绳子长度为 。

E CD FP_A_y _x_O知识点14圆的面积公式是S=______，扇形的面积公式是S 扇形=______或______.例21、（2010江苏泰州）已知扇形的圆心角为120°，半径为15cm ，则扇形的弧长为 cm（结果保留π）． 例22、（2010年山东省济宁市）如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 A ．6cm B ．35cm C ．8cmD ．53cm知识点15圆锥的侧面展开图是______，它的弧长是圆锥的底面______，半径是圆锥的________，令圆锥底面圆半径为r ，侧面展开图的弧长为l ，则圆锥侧面积公式S 侧=______，全面积S 全面积=__________；再令圆锥的母线长为R ，侧面展开图的圆心角为n °，则r ，R ，n ，360之间满足的的关系式是________.例23、如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成如图所示的一个圆锥模型.设圆的半径为r ，扇形的半径为R ，则圆的半径与扇形半径之间的关系为( )A ．R=2rB ．R=94r C ．R=3r D ．R=4r例24、已知正六边形的边长为1cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为 cm(结果保留π)．例25、如图，AC 是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果AO=65cm ，CO=15cm ，当AC 绕点O 旋转90°时，则刮雨刷AC 扫过的面积为____________cm 2．三、课堂测验1. (2010年兰州市) 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为A ．15︒B ．28︒C ．29︒D ．34︒AO C ′ CA ′剪去ABCD2. (2010年兰州市) 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有 A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ． 1个3.（2010年福建省晋江市）如图， A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且A 是优弧BAC 上与点B 、点C 不同的一点，若BOC ∆是直角三角形，则BAC ∆必是( ) . A.等腰三角形 B.锐角三角形C.有一个角是︒30的三角形D.有一个角是︒45的三角形 4．(2010年北京崇文区) 如图，AB 是O e 的直径，CD 是O e 的弦，DAB ∠=48︒,则ACD ∠= ︒．5．（2010江苏泰州）如图⊙O 的半径为1cm ，弦AB 、CD 的长度分别为2,1cm cm ，则弦AC 、BD 所夹的锐角α＝ ．6．（2010年门头沟区）如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，45AOB ∠=︒,点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直 线与⊙O 有公共点, 设，则x 的取值范围是 A ．－1≤x ≤1 B ．2-≤x ≤2 C ．0≤x ≤2 D ．x ＞27. （2010年益阳市）如图5，分别以A 、B 为圆心，线段AB 的长为半径的两个圆相交于C 、D 两点，则∠CAD 的度数为 ．8．（2010江西）“6”字形图中，FM 是大圆的直径，BC 与大圆相切于B ，OB 与小圆相交于A O BCP AOBx OP =A ，BC ∥AD ，CD ∥B Ｈ∥ＦＭ，BC ∥DG ，ＤＨ∥ＢＨ于H ，设,4,6FOB OB BC α∠===，（１）求证：AD 是小圆的切线；（２）在图中找出一个可用α表示的角，并说明你这样表示的理由；（３）当30α=︒，求DH 的长9．(2010年山东聊城)将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器弧（AB⌒ ）对应的圆心角（∠AOB ）为120°，AO 的长为4cm ，OC 的长为2cm ，则图中阴影部分的面积为（） A ．（16π3＋2）cm 2 B ．（8π3＋2）cm 2C ．（16π3＋23）cm 2D ．（8π3＋23）cm 210．（2010年浙江台州市）如图，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆O 交对角线BD 于E ．则直线CD 与⊙O 的位置关系是 ▲ ，阴影部分面积为(结果保留π) ▲ ．11．（2010山东德州）粉笔是校园中最常见的必备品．图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支．图2是它的横截面（矩形ABCD ），已知每支粉笔的直径为12mm ，由此估算矩形ABCD 的周长约为_______ mm ．(313.7≈，结果精确到1 mm12．（2010浙江省喜嘉兴市）如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有正三角形都关于PQ 对称，其中第一个△A 1B 1C 1的顶点A 1与点A BCD OE第16题图2第16题图1ABCDP重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△A n B n C n的顶点B n、C n在圆上．（1）如图1，当n＝1时，求正三角形的边长a1；（2）如图2，当n＝2时，求正三角形的边长a2；（3）如题图，求正三角形的边长a n（用含n的代数式表示）．13.（2010江苏泰州，28，12分）在平面直角坐标系中，直线y kx b=+（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O5⑴如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．①求k的值；②若b=4，点P为直线y kx b=+上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．⑵若12k=-，直线y kx b=+将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b的值．（图乙供选用）。