滁州学院2011 /2012学年度第一学期期末考试试卷参考答案理工（本）各专业 2010级《线性代数与概率统计》A卷（时间120分钟）一、填空题（每小题3分，共18分）1、 已知，则11121321222331233a b a b a b b a b a b a b a b ÷÷÷÷÷÷÷÷3A a æöççç=ççççèøa b A =0。
2、有根签，其中有根红签、根黄签和根白签，个人依次无放回的从中随机地抽取一根，则第人抽到黄签的概率为205820(1k k ≤≤0.25720)。
3、已知三阶方阵的特征值为，求A 1,2,324A A E -+=12-。
4、已知()P A ==0.5)0.3,(P AB ，则()P B A =0.4。
5、设随机变量X 服从，随机变量服从参数为的泊松分布，且(1,1N 2)Y X 与相互独立，则Y (2)E X Y +=4 ，()E XY =2 ，(2)D X Y +=6。
6、以X 表示5次独立重复射击命中目标的次数，已知每次射击命中目标的概率为0.8， 则2()=16.8E X 。
二、选择题（每小题3分，共18分）1、设矩阵，矩阵54,B ⨯⨯()A a =(b =)ij x y Tij BA 为53⨯矩阵，则B 是（ ）阶矩阵。
()b ()a 34´45´()d 5´,A B ()d 0=()1P A B ⋃=A B ⋃=ΩP ()()()P A B P A P AB -=- 3 34´()b ()c 专业： 年级/班级： 姓名： 学号：装 订 线 内 不 要 答 题2、为任意两事件，下列结论正确的是（ ）。
()a ()c 若，则 若，则()P AB B -=AB =Φ()P B -()b ()d ()P A ()A 3、设X 、为两随机变量，下面各命题等价，除了（ ）。
Y ()c (,X ()b ()a Cov )=0Y X 与 不相关Y ()c X 与 独立Y ()d D X ()()()Y D X D Y =+4、设随机变量X 的密度函数()()f x x R Î关于y 轴对称，则下列命题正确的是（ ）。
()c ()a (0)0.5P X ≤<()b (0)0.5P X ≤>()1()P X a P X a ()c ≤=-≤-()d (0)P X ≤B A ,n ()a ()a 不能确定的值5、设均为阶可逆方阵，则（ ）不成立。
A B +也可逆 ()b AB ()c **A B ()d ()TAB 23,也可逆 也可逆 也可逆6、设41,,X X X X 为来自总体X 的样本，则（ ）是总体均值的无偏估计。
()a ()E X ()a 123111136634X X X X +++()b 123111134634X X X X +++ ()c 123111134434X X X +++()d X 123411113553X X X +++X 三、解答题（共64分）1、（6分）若111(,,347A diag =16A BA A BA -=+，且满足，求矩阵B 。
解：由得16A BA A BA -=+1()6A E BA A --=(2) 分1A 两边同时右乘-得1()6A E B E --=(3) 分1116()6((2,3,6))(3,2,1)A E diag diag ---=-==(6) 分60%,40%2%,5%所以B2、（6分）甲、乙两台机器的产品分别占总产量的。
已知各机器的次品率依次为。
求（1）该产品的次品率。
（2）现从工厂的产品中任取一件，经检验知其为次品，问它是由乙机器生产的概率为多少？解:设=i A i =i ｛从产品中任取一件产品是台机器生产的｝，其中甲、乙， =B ｛从产品中任取一件产品为次品｝，则()0.P A 6=甲40.0)(=乙A P (|)0.0P B A 5=甲(P B 2(|)0.0P B A =乙)0.60.050.400.020.038由全概率公式得=⨯+⨯=(3) 分3.8%(4) 分 即该产品的次品率为 由贝叶斯公式得0.400.024(|)0.210.03819P A B ⨯==≈乙(6) 分题号一二三四五 六 七 八 总分分值 18 18 64 100 得分λ取何值时，方程组3、（12分）问12312321231x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪, ++=⎩det 0A ≠（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解。
解：（1）由于系数矩阵是方阵，由克拉默法则知，它有唯一解的充要条件是系数行列式。
又因为21111(1)(2)11λλλλλ-+1det A ==即当λ≠且2λ≠- 时有唯一解。
(4)分 2（2）当λ=-121201110001r -⎛⎫⎪−→- ⎪ ⎪⎝⎭时，方程组所对应的增广矩阵可化为211112121124--⎛⎫⎪--− ⎪ ⎪-⎝⎭此时()3(R A R A =≠1)2= ，方程组无解。
(8)分 （3）当λ=2131(1)(1)111100000000r r r r +⨯-+⨯-⎛⎫⎪−−−−→⎪ ⎪⎝⎭时，方程组所对应的增广矩阵可化为111111111111⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭此时()R A ()R A =2,1=，方程组有无穷多解，取3x x 12322331为自由未知变量，即得方程组的通为x x x x x x x=--⎧⎪=⎨⎪=⎩, 令2213c x c ==1110c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪(12) 分10010%16，把上式写成向量形式的解x 121001x c --⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭0 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4、（6分）某单位有部电话，每部电话有的时间使用外线. 若每部电话是否使用外线是相互独立的，求某一时刻使用外线的电话不超过部的概率。
()(1.28)0.900(2.00)0.977Φ=Φ=；Y 100,0.1),Y (10,9)N (3) 分解：设为部电话使用外线的部数，则(100Y b 近似服从101610(2)0.97733Y --⎛⎫≤≈Φ= ⎪⎝⎭(6) 分(16)P Y P ≤=X 的分布函数为5、（8分）设连续型随机变量⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=-0,00,)(22x x Be A x F x ,，求：A B ； （2）X 的概率密度函数f )9ln 4ln (<<X P ()（1）常数； （3）随机变量x (0)00()1F F -⎧。
=解：（1）F =+∞=（）(2) 分0A B ⎨⎩ 即1A +=⎧1,1AB ⎨=⎩，所以=-(3) 分=（２）1(ln 4)6F F P X <<=-=(6) 分 22'0()0x xex x x -⎧⎪≥⎨⎪<⎩(8) 分（３）()f x F ==P A 于是11ln ()ln ()ln(1)n ni i i i L p x p n x p ===+--∑∑，令 11ln ()01nniii i xn x dL p dp pp ==-=+=-∑∑令 1x μ= ,解得p 的矩估计为ˆpx =(3) 分 1111()(1)(1)nniiiii i nx n x x x i L p p p pp ==--=∑∑=-=-∏ (5) 分解得p 的极大似然估计为11ˆni i px x n ===∑。
(8)分22((1)/(1)/(64.23,70.77)x t n s x t n s αα--+-=(4) 分因||3 2.262t =>，故拒绝，即中毒者与正常人的平均脉搏有显著差异。
0H (8) 分8、（8分）已知人的脉搏X 服从正态分布2(,)N μσ。
正常人的平均脉搏为次/分. 某医院测得例中毒者的脉搏（单位：次/分），经计算得样本均值和样本方差分别为721067x =，2250=9s ，（1）求中毒者的平均脉搏μ的置信水平为95％的置信区间；（2）试在0.05α=的显著性水平下，检验中毒者与正常人的平均脉搏有无显著差异。
⑵0:72H μ= VS 1:72H μ≠由于方差2σ未知，故采用检验，拒绝域为t 2{(1)}W t t n α=≥-， 又由已知得（0.05(9) 1.883t =，0.025(9) 2.262t =，，）0.05(10) 1.812t =0.025(10) 2.228t =（2）X 的分布律为1()(1)x xP X x p p -==-, ,则似然函数为0,1x =7、（8分）设~(1,)X B p ，12,,,n x x x 是来自X的样本， 3x t ==-解：⑴由于方差2σ未知，故1μα-的置信区间为（2）求参数p 的极大似然估计. （1）求参数p 的矩估计; 解 （1）1()E X p μ==6、（10分）设，求正交矩阵，将矩阵相似变换到对角阵， 220212020A æö-÷ç÷ç÷ç÷=--ç÷ç÷ç÷÷ç-èø且有 .1400010002P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭所以A 的特征值为14λ=，21λ=，32λ=-.(3) 分111221,,333Tξηξ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，222212,,333Tξηξ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，333122,,333Tξηξ⎛⎫== ⎪⎝⎭(8) 分并求出相应的对角阵。
解： 由于220212(4)(1)(2)02E A λλλλλλλ--=-=--+ 对14λ=，由，得基础解系； ()40E A x ⋅-=()12,2,1Tξ=-对21λ=，由，得基础解系；()10E A x ⋅-=()22,1,2Tξ=-对32λ=-，由，得基础解系； ()20E A x -⋅-=()31,2,2Tξ=(6) 分(10) 分()123221333212,,333122333P ηηη⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭将312,,ξξξ单位化：于是得到正交矩阵。