Gv Fv
vx
=
v x
=
−
Gu Fu
Gx Fv
Gu Gv
Gu Gv
对 y 求偏导方法类似。
第九章 第五节
18
例9 设 u , v 为 x , y 的函数，并由方程组
u2 − v +
u
+
v2
−
x y
= =
0 0
确定，试求
u x
,
u y
,
v x
,
v y
第九章 第五节
19
例10
设
u = f (ux , v + y) v = g(u − x , v2 y)
某邻域可确定一个单值可导函数 y= f (x)， 并求：
dy
d2y
dx
, x=0
d x2
x=0
第九章 第五节
6
例2 已知 ln
x2 + y2 = arctan y ，求 dy 。
x
dx
解 令 F ( x , y) = ln x2 + y2 − arctan y
x
则
Fx ( x
,
y) =
x+ x2 +
1) 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
2) F ( x0 , y0 , z0 ) = 0 3) Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
则方程 F(x , y , z)=0 在 (x0 , y0) 的某邻域内可 唯一确定一个单值连续函数 z=f (x , y) ，满足
，并有连续偏导数
z = − Fx , z = − Fy x Fz y Fz 定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
，f
,g
具有一阶
连续偏导数，求 u , v
x x
第九章 第五节
20
例11 设 y = y( x) , z = z( x) 是由方程 z = xf ( x + y)和 F ( x , y , z) ，所确定的函数，求 dz 。 (99考研)
dx
解法1 分别在各方程两端对 x 求导……
解法2 微分法。对各方程两边分别求微分:
15
定理3 设F(x , y , u , v) , G(x , y , u , v) 满足：
1) 在点
的某一邻域内具有
连续偏导数；
2) F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0 , G( x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0
3) J = (F , G) 0 P (u , v ) P
第九章 第五节
23
第九章 第五节
2
一、一个方程的情形
定理1 F(x , y) 在点 P( x0 , y0 ) 的某邻域内满足 1) 具有连续的偏导数
2) F ( x0 , y0 ) = 0
3) Fy ( x0 , y0 ) 0
则方程 F(x , y)=0 在点 x0 的某邻域内可唯一确定
一个单值连续函数 y=f (x) ，满足
第九章 第五节
8
设 z=f (x , y) 为方程 F(x , y , z)=0 所确定的隐函数，
F(x , y, f (x, y)) 0
两边对 x 求偏导
Fx
+
Fz
z x
=
0
在
的某邻域内 Fz 0
z = − Fx
x Fz
同样可得
z = − Fy
y Fz
第九章 第五节
9
例3 方程
在点 (0 , 1 , 1) 的某邻
ux ux
+ +
Fv Gv
vx vx
= =
0 0
GFuu
ux ux
+ Fv + Gv
vx vx
= =
− Fx −Gx
将 ux , vx 看成未知量解上方程组，
J = (F , G) = Fu Fv 0 由克拉默法则：
(u , v) Gu Gv
Fx Fv
Fu Fx
ux
=
u x
=
−
Gx Fu
y y2
,
Fy ( x
,
y) =
y− x2 +
x y2
dy = − Fx = − x + y dx Fy y − x
公式法
另解 视 y = y(x) ，对方程两边关于 x 求导，
x + yy x2 + y2
=
1+
1 y x
2
(
yx − x2
y ) 直接法
第九章 第五节
7
定理2 若函数 F(x , y , z)满足：
d d
2y x2
=
x
(−
Fx Fy
)
+
y
(−
Fx Fy
)
d d
y x
− Fx Fy
xy x
=
−
Fx
xFy − Fy Fy2
x
Fx
−
Fx yFy − Fy Fy2
y Fx
(−
Fx Fy
)
=
−
Fx x Fy2
−
2Fx yFxFy Fy3
+
Fy
y Fx2
第九章 第五节
5
例1 验证方程
在点 (0 , 0)
，并
有连续导数。
d y = − Fx (隐函数求导公式) d x Fy
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
第九章 第五节
3
设 y=f (x) 为方程 F(x , y)=0 所确定的隐函数， 则
两边对 x 求导
在
d y = − Fx d x Fy
的某邻域内 Fy 0
第九章 第五节
4
若 F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续， 则还有二阶导数 :
域内能否确定出某一个变量是其他变量的函数？
若能，试求所确定函数的一阶偏导数。
第九章 第五节
10
例4
设 x2 +
y2
+ z2 − 4z = 0 ，求
2z x 2
。
第九章 第五节
11
例5 设 z = f ( x + y + z , xyz) ，求 z , x , y 。 x y z
解 令 F( x , y , z) = z − f ( x + y + z , xyz) 则 z = − Fx − − ( f1 + f2 yz) x Fz 1 − ( f1 + f2 xy)
*另解 (用全微分) 对方程两端同时微分，得
dz = f1 d( x + y + z) + f2 d( xyz)
dz = f1 + yz f2 dx + f1 + xz f2 dy 1 − f1 − xy f2 1 − f 1− xy f2
第九章 第五节
12
例7 设 F(x , y) 具有连续偏导数，已知方程 ，求 dz 。
第五节 隐函数的求导公式
教学内容
1 一个方程的情形； 2 方程组的情形；
考研要求
了解隐函数存在定理，会求多元隐函数 的偏导数。
第九章 第五节
1
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数。
例如，方程
当 C < 0 时，能确定隐函数； 当 C > 0 时，不能确定隐函数。 2) 在方程能确定隐函数时，研究其连续性、 可微性及求导方法问题 。
Gu Gv
v = − 1 (F , G) = − y J (u, y)
1 Fu Fv
Fu Fy Gu G y
Gu Gv
第九章 第五节
17
思路： GF (( xx
, ,
y y
, ,
u u
, ,
v) v)
= =
0 0
方程组两端同时对 x 求偏导
u = u(x , y)
v
=
v
(
x
,
y)
GFxGu
16
u = − 1 (F , G) = − 1
Fx Fv
x J (x ,v)
Fu Fv Gx Gv
Gu Gv
u = − 1 (F , G) = −
1
Fy Fv
y J ( y ,v)
Fu Fv G y Gv
Gu Gv
v = − 1 (F , G) = − x J (u,x)
1 Fu Fv
Fu Gu
Fx Gx
则 F(x , y , u , v)=0 , G(x , y , u , v)=0 在点 (x0 , y0)
的某一邻域内可唯一确定满足条件 u0 = u( x0 , y0 ),
v0 = v ( x0 , y0 )的单值连续函数 u=u(x , y) , v=v(x , y )
且有偏导数公式 :
第九章 第五节
消去 dy 可得 dz ……
dx
第九章 第五节
21
内容小结
1. 隐函数的求导法则 (分以下几种情况)
(1) F( x , y) = 0
(2) F( x , y , z) = 0
F(x , y , u , v) = 0 (3) G( x , y , u , v) = 0
第九章 第五节
22
2. 隐函数(组)求导方法 方法1 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2 利用微分形式不变性 ; 方法3 代公式。
F( x , y , u , v) = 0 确定 u = u( x , y)