10 组合变形1、 斜弯曲，弯扭，拉（压）弯，偏心拉伸（压缩）等组合变形的概念；2、危险截面和危险点的确定,中性轴的确定； 如双向偏心拉伸, 中性轴方程为3、危险点的应力计算，强度计算，变形计算、。

4、截面核心。

10.1、定性分析图10.1 示结构中各构件将发生哪些基本变形?图 10.1[解]（a ）AD 杆时压缩、弯曲组合变形，BC 杆是压缩、弯曲组合变形；AC 杆不发生变形。

（b ）AB 杆是压弯组合变形，BC 杆是弯曲变形。

（c ）AB 是压缩弯曲组合变形，BC 是压弯组合变形。

（d ）CD 是弯曲变形，BD 发生压缩变形，AB 发生弯伸变形，BC 发生拉弯组合变形。

10.2 分析图10.2中各杆的受力和变形情况。

解题范例图 10.2[解] (a)力可分解成水平和竖直方向的分力,为压弯变形。

(b)所受外力偶矩作用,产生弯曲变形。

(c)该杆受竖向集中荷载,产生弯曲变形.(d)该杆受水平集中荷载,偏心受压,产生压缩和弯曲变形。

(e)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:弯曲。

(f)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:压弯组合。

(g)AB段:斜弯曲，BC段:弯纽扭合。

10.3分析图10.3 示构件中 (AB、BC和CD) 各段将发生哪些变形?图10.3[解] AB 段发生弯曲变形，BC 段发生弯曲、扭转变形；CD 段发生拉伸、双向弯曲变形。

10.4一悬臂滑车架如图 10.4 所示，杆AB 为18号工字钢（截面面积30.6cm 2，Wz=185cm 3），其长度为l =2.6m 。

试求当荷载F=25kN 作用在AB 的中点处时，杆内的最大正应力。

设工字钢的自重可略去不计。

图 10.4[解] 取AB 为研究对象，对A 点取矩可得NBCY F 12.5kN = 则 3225==NBCX NAB F F 分别作出AB 的轴力图和弯矩图:kN3225kN.mNBCX轴力作用时截面正应力均匀分布，AF N=σ（压） 弯矩作用时截面正应力三角形分布，WzM=σ（下拉上压） 可知D 截面处上边缘压应力最大,叠加可得最大正应力94.9MPa （压10.5如图 10.5 所示,截面为 16a 号槽钢的简支梁,跨长 L=4.2m, 受集度为 q 的均布荷载作用 ,q=2KN/m 。

梁放在ϕ=20o的斜面上,试确定梁危险截面上 A 点和 B 点处的弯曲正应力。

图10.5[解] 双向弯曲梁,在梁跨中点处的截面是危险截面,该截面上的弯矩、m kN ql M Z ∙==15.4cos 812max αmkM ql M y ∙==5.1sin 812max α 从型钢规格中查得16A 号钢的抗弯截面模量cmb cm z cm I cm W Z Z 3.608.13.73108043====离中和轴最远的点是危险点: A 点: ()ymax 0Zmax cmaxZ yM 6.3z M 145.22MPa W I ∙-σ=+= B 点: MPa I z M W M yy Zy t .5.600max max max =⨯+=σ10.1矩形截面木檩条,跨度 L=4m,荷载及截面尺寸如图 10.6所示,木材为杉木,弯曲容许应力 [σ]=12MPa,E=9×103MPa 容许挠度为 L/200, 试验算穰条的强度和刚度。

习题解析图 10.6[解] ⑴首先进行强度的校核：先将q 分解成为两个分量X q =716N/m ，z q =1430N/m,二者对应最大弯矩分别为max x M =1432N ·m, max z M =2860 N ·m ，代入强度条件公式得max x M ／x W +max z M ／Z W =1053.MPa ＜[]σ=12MPa故强度条件满足.⑵ 再进行刚度的核算：与X q 相应的挠度X f =43845l EI q Zx=14.9mm与z q 相应的挠 度z f =43845l EI q xz=14.mmmax f =z x f f +=20.51mm<[L ／200]=20mm (容许挠度)可以认为刚度满足要求。

10.2 由木材制成的矩形截面悬臂梁 ,在梁的水平对称面内受到力 P 1=1.6kN 的作用,在铅直对称面内受到力 P 2=0.8 kN 作用(如图 10.7 所示)。

已知:b=90mm ，h=180mm,E=1.0 × 104MPa 。

试求梁的横截面上的最大正应力及其作用点的位置 ,并求梁的最大挠度。

如果截面为圆形,d=13Omm, 试求梁的横截面上的最大正应力。

图 10.7[解] P1,P2单独作用在梁上时,所引起的最大弯矩m kN l P M y ∙=⨯=∙=2.36.121m kN P M Z ∙=⨯=⨯=8.08.0112都在梁固定端 ,截面上 1、2两点是危险点.MPa W M W M ZZyy 82.14max =+=σ(1点为拉应力,2点为压应力) 梁的最大挠度在自由端,其值为 mm EI l P l EIl P EI l P f y 5.148522)2(3)3(322232==∙+=mm EIl P f z 39331===所以最大挠度为 mm f f f z y 03.3922max =+=如果截面为圆形: 332D W W Z y π==MPa WM M W MZ y 3.15max 2max 2max =+==σ(发生在固定端截面上)10.3试分别求出图10.8 示不等截面及等截面杆内的最大正应力,并作比较(图中尺寸单位为 mm) 。

图 10.8[解] (a)轴力 N=P=350kNm kN e P M ∙=⨯=∙=5.1405.0350MPa AP h b P A N W M Z 67.1161502max =+⨯=+=σ (b) MPa APA N 75.8===σ.10.4 一伞形水塔,受力如图10.9, 其中P 为满水时的重力,Q 为地震时引起的水平载荷,立柱的外径 D=2m, 壁厚 t=0.5m, 如材料的许用应力[σ]=8MPa ，试校核其强度。

图10.9[解] 水塔为压弯组合编形,由轴向压力P 引起的压应力APp =σ 由Q 引起的正应力WMQ max max =σ (最大值在固定端)[]33max max2423M P 180010300104017.068MPa A W D d d 1D 14D 32D ⨯⨯⨯σ=+=+=>σ=⎡⎤⎡⎤ππ⎛⎫⎛⎫--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 所以,不满足强度条件.10.5起重机受力如图10.10,P 1=3OkN, P 2=22OkN, P 3=6OkN,它们的作用线离立柱中心线的距离分别为 1.Om ,1.2m 和 1.6m, 如立柱为实心钢柱,材料许用应力[σ]=16OMPa, 试设计其底部 A --A 处的直径。

图10.10[解] 该杆为压弯组合变形,设底部A-A 处直径D ，柱底部所受的压应力有两部分33123122P P P 302206010394.9101A d d 4++++⨯⨯σ===π（） 柱底部最大弯矩max 112233M P l P l P l 468kN m=+-=∙由此弯矩产生的最大压力33max 233M 46810324769.410W d d⨯⨯σ===⨯π 柱底部所受的压应力 []12160MPa σ+σ≤σ= 由于21σσ,若只考虑弯矩的作用解得d=31cm取 d=40cm10.6 上题中,若立柱为空心钢管,内外径之比 d/D=0.9, 试设计 A-A 处的直径。

[解] 此题为压弯组合变形，将立柱在A-A 处截开，合压力123F P P P 3022060310kN =++=++=底部面积222D d )A 0.15D 4π-==（弯矩 Z 123M P 10P 1.2P 1.63010220 1.260 1.6468kN m =⨯+⨯-⨯=⨯+⨯-⨯=⋅33344Z D D 0.3439D W 110.9323232πππ=-α=⨯-=（）（）3Z Z c 23Z M 32M F F []16.10A W 0.15D 0.3439Dσ=+=+≤σ=⨯π 解得D 43cm,d 0.9D 38cm ≈==可取 D 45cm,d 38cm ==10.7 三角形构架 ABC, 受力如图 10.11 。

水平杆AB 由 18 号工字钢制成 , 试求 AB 杆的最大应力。

如产生力 P 的小车能在 AB 杆上移动,则又如何?图 10.11[解] AB 杆产生压缩与弯曲组合变形kN P N BC 15030sin 5.125.10=⨯⨯=荷载移动到中点时弯矩最大,其值为 m kN N M BC ∙=⨯⨯=1255.130sin 0maxMPa ANW M Z D c 92.717max =+=σ (截面的上边缘为压应力) 10.8上题中,若工字钢材料的许用应力[σ]=10O0MPa,试选择 AB 杆的截面尺寸。

[解] 接上题[]σσ≤+=Z D D c W M A N max , []3125cm MW D Z =≥σ 选16号普通工字钢,231.26,141cm A cm W Z ==强度校核: cmax a 936.3MP σ=<[]σ 即选16号普通工字钢,231.26,141cm A cm W Z ==.10.9 图 10.12 示钻床,受力 P=15kN,铸铁立柱的许用应力[σ]=35MPa, 试计算立柱所需的直径 d 。

图 10.12[解] 为拉弯组合变形,只考虑弯矩的作用解得[]σσ≤=Zt W Mmax[][]331017.0m eP M W Z -⨯=∙=≥σσ 或331017.032-⨯=d π解得d 12cm ≥取 d=14cm 代入验算: maxt max zM P 28.95MPa 35MPa A W σ=+=< 10.10砖砌烟囱,高H=30m, 自重 Q=200OkN, 受水平风力 q=2kN/m 作用,如图 10.13所示。

如烟囱底部截面的外径D=3m 时,内径d=2m, 求烟囱底部截面上的最大压应力。

图 10.13 [解] 由自重引起的压应力大小为:Q0.509MPa Aσ==⨯ 烟囱底部截面上的弯距大小为m N ql M ∙⨯==52max 100.921max max MQ 0.92MPa A Wσ=+=10.11 如图 10.14所示某厂房柱子,受到吊车竖直轮压力P=22OKN, 屋架传给柱顶的水平力 Q=8KN,以及风载荷 q=1kN/m 的作用 ,P 力的作用线离底部柱的中心线的距离 e=0.4m, 柱子底部截面尺寸为1m ×0.3m, 试计算柱底部的危险点的应力。