离散数学习题
集合论
1.A={?,1}，B={{a}}求A的幂集、A×B、A∪B、A+B。

2.A={1,2,3,4,5},
R={(x,y)|x
3.A={a,b,c},R={(a,a),(b,a)},求
R-1,R2,R-I A,I A-R,r(R),s(R),t(R),st(R),ts(R)。

4.A={a,b,c},R= I A∪{(a,b),(b,a)}，求a和b关于R的
等价类。

5.R是A上的等价关系，A/R={{1,2}，{3}},求A，R。

6.请分别判断以下结论是否一定成立，如果一定成立请证明，否则请举出反例。

①如果A∪B?C，则A?C或者B?C。

②如果A×B=A×C且A≠?，则B=C。

7.如果R是A上的等价关系，R2,r(R)是否一定是A上的等价关系？证明或举例。

8.已知A∩C?B∩C,A-C?B-C,证明：A?B。

9.证明：A X(B∩C)=(A X B)∩(A X C)
10.证明：P(A)∪P(B)?P(A∪B)
11.证明：R[sym] iff R=R-1
12.证明：r(R)=R∪I A,S(R)=R∪R-1,t(R)=R∪R2∪...
13.证明：s(R∪S)=s(R)∪s(S)
14.R是A上的关系，证明：如果R是对称的，则r(R)也是对称的。

15.I是整数集，R={(x,y)|x-y是3的倍数}，证明：R是I
上的等价关系。

16.如果R是A上的等价关系，则A/R一定是A的划分。

17.R是集合A上的自反关系，S是A上的自反和对称关系，证明t(R∪S)是A上的等价关系。

18.I是正整数集合，R是I×I上的二元关系，
R={<,>|xv=yu},证明：R是等价关系。

19.f:A→B，R是B上的等价关系，令S={|x∈A且y∈A
且∈R}，证明：S是A上的等价关系。

20.R是集合A上的自反关系，S是A上的自反和对称关系，证明t(R∪S)是A上的等价关系。

21.P和Q都是集合A上的划分，请问P∪Q，P-Q是否是A 上的划分，
22.R?AXA,R[irref]且R[tra],证明：r(R)是A上的偏序关系。

23.画出{1,2,3,4,6}上整除关系的哈斯图，求{2,3,6}的4
种元素。

24.A={a,b,c,d,e,f,g},R={(a,c),(a,e),(b,d),(b,f),(d,
e),(d,f)},S=tr(R),画出S的哈斯图并求{b,c,d,f}的极
大元等8种元素。

25.f:A→B,g:B→C都是单（满）射，证明：复合映射gof
一定是单（满）射。

26.f:A→B,g:B→C，gof是单射，请问f和g是否一定是单射？请证明或举出反例。

27.R是实数集，f:R×R→R×R,f()=,请问f
是否为单射？是否为满射？分别证明或举反例。

28.已知B∩C=?,令f：P(B∪C)→P(B)×P(C)，对X∈P(B∪
C),令f(X)=(B∩X,C∩X),证明：f是双射。

代数系统
1.是模8加群，Z8={0,1,2,3,4,5,6,7},+8是模8加
法，求出的单位元、每个元素的逆元、所有的生
成元和所有的子群。

2.求的单位元，零元，每个元素的逆元，每个元素
的阶，它是循环群吗？求出它所有的子群。

3.R是实数集，在R上定义运算*为x*y=x+y+xy,问：
是代数系统吗？有单位元吗？每个元素都有逆元吗？
4.R*是非零实数集合，是代数系统，对于R*中元素
x,y，令xoy=2x+2y-2。

请问中是否存在单位元、
零元、哪些元素有逆元？运算o是否满足交换律和结合
律。

分别说明理由。

5.R是实数集，R上的6运算定义如下：对R中元素x,y，
f1()=x+y；f2()=x-y；f3()=xy；
f4()=x/y；f5()=max{x,y}；f6()=|x-y|。

问：哪些满足交换律、结合律、有单位元、有零元？说
明理由。

6.是一个群，证明：G是交换群当且仅当对任意G中
元素x,y,都有等式(xy)2=x2y2成立。

7.证明：如果群G中每个元素的逆元素都是它自已，则G
是交换群。

8.循环群一定是交换群。

9.证明：阶为素数的群一定是循环群。

10.是一个群，u∈G,定义运算*：x*y=xou-1oy, 证明：
是一个群。

11.整数集Z上定义运算*：对任意整数x和y,x*y=x+y-4,
其中+，-为普通加减法。

证明：是一个群。

12.证明：如果群G中至少有两个元素，则群中没有零元。

13.S是G的子群，证明：{x|x是S的左陪集}是G的一个划
分
14.是一个群,a∈G,n是a的阶(周期)，证明：
<{a k|k=0,2,…,n-1},o>是的一个子群。

15.H，K都是群G的子群，请问H∩K,H∪K,H-K是否一定是
G的子群？
16.H，K是G的两个子群，a∈G, 试证：aH?aK当且仅当H?K。

17.G={1,3,4,5,9},*是模11的乘法(即x*y=xy mod 11)，
请问(G,*)是否构成群？
18.是群，e是单位元，a∈G,a的阶为k,证明：a n=e当
且仅当 n是k的倍数。

19.S是G的子群，证明：{x|x是S的左陪集}是G的一个划
分
20.G是群，证明：S={a∈G|?x∈G(ax=xa)},则S是G的子群。

21.是偶数阶群，则G中必存在2阶元素。

22.证明：6个元素的群在同构意义下只有两个。

23.R为实数集，R+为正实数集，与是否同构？
24.是有限群，证明：G不可能表示成两个真子群的并。

25.
图论
1.如何判断二部图？完全图、完全二部图的边数。

2.如何求E回路？
3.Petersen图是否为E图或H图。

4.哪些完全图是H图？哪些完全图是E图？
5.n为何值时轮图为H图？
6.如何求最小生成树。

7.证明：奇数个顶点的二部图（两步图）不是哈密尔顿图。

8.证明：如果G是欧拉图，则其边图L(G)也是欧拉图。

9.证明：奇数个顶点的二部图（两步图）不是哈密尔顿图。

10.G是平面图，G有m条边，n个顶点，证明：m≤3n-6。

并由此证明K5不是平面图。

11.证明：有6个顶点的简单无向图G和它的补图中至少有一
个三角形。

12.证明：在至少有两个顶点的无向树中，至少有2个一度顶点。

13.G是无向简单连通图，G有n个顶点，则G最少有几条边，最多有几条边？
14.证明：简单无向图G和它的补图中至少有一个是连通图。

15.证明：无向图中奇度点（度数为奇数的点）有偶数个。

16.证明：n个顶点的无向连通图至少有n-1条边。

17.G是H图，V是G的顶点集，证明：对任意顶点集S，?≠S?V，
都有ω（G-S）≤|S|。

其中ω（G-S）表示G-S的分图数目。

18.一棵无向树有3个3次点，1个顶点次数为2，其余顶点次
数为1，问它有几个次数为1的顶点？写出求解过程。

19.证明：每个简单平面图都包含一个次至多为5的顶点。

20.连通平面图G有n个顶点，m条边和f个面，证明：n-m+f=2。

21.如果图G的最大顶点次数≤ρ，证明：G是ρ+1可点着色
的。

22.G是无向简单连通图，G有n个顶点，则G最少有几条边，
最多有几条边？
23.如果一个简单图G和它的补图同构，则称G是自补图，求
所有4个顶点自补图。

24.G是平面图，G有m条边，n个顶点，证明：m≤3n-6。

如果
G中无三角形，则m≤2n-4。

数理逻辑
1.如果今天是星期一，则要进行英语或数理逻辑考试。

没有不犯错误的人。

整数都是有理数。

有的有理数不是整数。

不存在最大的整数。

有且只有一个偶数是素数。

2.求真值表及范式：P→(┓Q→R)、(┓Q→R)→(P?R)
3.推理：
p→(q→r)，┓s∨p，q ├ s→r
p→r，q→s，p∨q ├ r∨s
p∨q，p→┓r，s→t，┓s→r，┓t ├ q
p→(┓(r∧s)→┓q),p,┓s ├┓q
4.如果小王是理科学生，他一定会学好数学。

如果小王不是
文科学生，他一定是理科学生。

小王没学好数学。

所以小王是文科学生。

5.判断各公式在给定解释时的真假值，并且改变论域使该公
式在新的解释下取值相反。

论域：D={-2,3,6}, F(x):x≤3, G(x):x>5, R(x,y):x+y<4
①?x(F(x)∨G(x))
②?y?yR(x,y)。