离散数学章节练习4K E Y(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除离散数学 章节练习 4范围：代数系统一、单项选择题 1. <G,*>是群，则对* ( A ) A 、有单位元，可结合 B 、满足结合律、交换律 C 、有单位元、可交换 D 、有逆元、可交换2. 设N 和Z 分别表示自然数和整数集合，则对减法运算封闭的是 ( B )A 、NB 、{x ÷2|x ∈Z}C 、{x|x ∈N 且x 是素数}D 、{2x+1| x ∈Z }3. 设Z 为整数集，A 为集合，A 的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是群的代数系统的有 ( B ) A.〈Z ，+，÷〉 B.〈Z ，÷〉 C.〈Z ，－，÷〉 D.〈P(A)，⋂〉 4. 设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是 ( B ) A 、半群，但不是独异点； B 、只是独异点，但不是群； C 、群； D 、环，但不是群。
5. 设f 是由群<G,☆>到群<G ',*>的同态映射，则ker (f)是 ( B ) A 、G '的子群 B 、G 的子群 C 、包含G ' D 、包含G 6. 在整数集Z 上,下列哪种运算不是封闭的 ( C ) A + B - C ÷ D X 7. 设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是 ( B )A 、半群，但不是独异点；B 、只是独异点，但不是群；C 、群；D 、环，但不是群。
8. 设R 是实数集合，“⨯”为普通乘法，则代数系统<R ，×> 是（ A ）。
A ．群； B ．环； C ．半群 Ｄ.都不是 9. 设︒是集合S 上的二元运算，如果集合S 中的某元素eL,对∀x ∈S 都有 eL ︒x=x ,则称eL 为 ( C ) A 、右单位元 B 、右零元 C 、左单位元 D 、左零元 10. <Z,+> 整数集上的加法系统中0是 ( A ) A 单位元 B 逆元 C 零元 D 陪集 11. 若V=<S,︒>是半群，则它具有下列那些性质 ( A ) A 、封闭性、结合性 B 、封闭性、交换性 C 、有单位元 D 、有零元 二、判断题 1．若半群<S,*>含有零元，则称为独异点。
( ) 2、代数系统<Z ，×>的零元是0 ( ) 3、<{e},*>是<G,*>的子群。
( ) 4、小于6阶群都是可交换群。
( ) 5、设*是S 上的二元运算，若存在零元和单位元e ，则|S| >1 ( )6、代数系统<Z, ×>的单位元是1。
( ) 7．若群<G,*>中的运算可交换，则称为交换群。
( )8、在代数系统<A,*>中如果元素A a ∈的左逆元1-e a 存在，则它一定唯一且11--=e a a 。
( ) 9、设<S,*>是群<G,*>的子群，则<G,*>中幺元e 是<S,*>中幺元。
( ) 10、设},,3|{均为有理数b a b a x x A +==， +,·为普通加法和乘法，则代数系统<A ，+，·>是域。
( )11、设*是S 上的二元运算，若存在零元和单位元e ，则|S| >1 ( ) 12、设<A,≼>为偏序集, B ⊆A, y ∈B ，若∀x(x ∈B→y ≼x)成立, 则称 y 为A 的最小元 ( )13、若V=<S,︒ >是封闭、可结合,则称V 为半群。
( ) 14、<Z,+> 整数集上的加法独异点 ( ) 15、设G 为群<G, ︒>且|G|>1，则G 中没有零元。
( ) 16、设为群<G, * >，对于a, b ∈G ， 必存在唯一的 x ∈G ，使得a *x=b 。
( )17、设<G, *>是群,若G 存在一个元素a ，使得G 中任意元素都由a 的幂组成，则称该群为循环群。
( ) 18、设︒与*是集合S 上的二种可交换的二元运算，若∀x,y ∈S 都有 x*(x ︒y)=x , x ︒(x*y)=x 则称*与︒是满足吸收律 ( ) 19、设︒是集合S 上的二元运算，若∀x ∈S 都有x ︒x=x,则称︒在S 上是幂等的,或者说运算︒ 在S 上满足幂等律。
( )20、设︒是集合S 上的二元运算，若∀x,y ∈S 都有x ︒y=y ︒x,则称︒在S 上是可交换的,或者说运算︒ 在S 上满足交换律。
( )21、设<G,*>是群,若G 存在一个元素a ，使得G 中任意元素都由a 的幂组成，则称该群为交换群。
( ) 22、设<S, ♥>是半群,集合B ⊆S,且运算♥在B 上封闭,则<B, ♥>是半群。
( )23、设G 为群<G, ︒>且|G|>1，则G 中没有单位零元 ( ) 【参考答案】1-10 ×√√√× √√×√√ 11-20 ××√√√ √√√√√ 21-23 ×√×三、填空题 1．代数系统<N ，+>的单位元是 0 。
2．代数系统<G ，*>的单位元e 的逆元是 e 。
3．对代数系统<S ，*>，其中*是S 上的二元运算，若存在a ∈S ，且对任意的x ∈S ，都有a*x=x*a=x ，则称a 为运算“*”的 单位 元。
4．自然数乘法代数系统<N ，X>的单位元是 1 。
5．集合A 和A 上的偏序关系≼一起叫做 偏序集 。
6．设︒是集合S 上的二元运算，如果集合S 中的某元素eL 对∀x ∈S 都有e L ︒x=x ,则称e L 为 左单位元 。
7．某x ∈S 若有yL ∈S,使得 y L ︒x=e ，则称y L 为 左逆元 。
8．H 是G 的子群，a ∈G,H 的右陪集Ha = {x | x=h ︒a, h ∈H}，其中a 称为Ha 的 代表元或特征元 。
9．设︒是S 上的二元运算,若存在零元θ与单位元e,且集合S 中至少有2个元素，则θ与e 的关系为 θ≠ e 。
10．设<A,R>是偏序集,B ⊆A, y0∈B, 若∀x ∈B,均有<x,y 0> ∈R ，则y 0是B 的 最大元 。
11．设有代数系统<A,♥>,在A 上定义了等价关系R ⊆A ⨯A 。
如果<a1,a2>，<b1,b2>∈R 时均有<a1♥b1, a2♥b2>∈R,称R 为A 上关于♥的 同余关系 。
12．设<G, *>是群,若G 存在一个元素a ，使得G 中任意元素都由 a 的幂 组成，则称该群为循环群。
记成G=<a>，a 称为该群的生成元。
13．设︒与*是集合S 上的二种可交换的二元运算，若∀x,y ∈S 都有 x*(x ︒y)=x , x ︒(x*y)=x, 则称*与︒是满足 吸收律 。
四、计算题1 .判断自然数中的加法<N,+>是否是半群。
【参考答案】2．判断整数中的加法<Z,+>是否是群，并证明。
【参考答案】3. 判断自然数中的乘法<N,x>是否是半群。
【参考答案】4. 证明：设<S, ♥>是半群，集合B ⊆S ，且运算♥在B 上封闭，则<B, ♥>是半群。
【参考答案】5. 设 * 为+Z 上的二元运算+∈∀Z y x ,，X * Y = min ( x ，y ),即x 和y 之中较小的数.求4 * 6，7 * 3，9 * 1，15 * 2的结果。
【参考答案】 4 3 1 26. 设 * 为+Z 上的二元运算+∈∀Z y x ,，X * Y = min ( x ，y ),即x 和y 之中较小的数，求*运算的单位元，零元及+Z 中所有可逆元素的逆元。
【参考答案】单位元 无，零元 1, 所有元素无逆元7. 设S={0，1，2，3}，为模4乘法，即 "∀x,y ∈S, x y=(xy)mod 4 。
问〈S ，〉是否构成群为什么 【参考答案】 解：(1) ∀x,y ∈S, x y=(xy)mod 4S ∈,是S 上的代数运算。
(2) ∀x,y,z ∈S,设xy=4k+r 30≤≤r(x y)z =((xy)mod 4)z=r z=(rz)mod 4 =(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4同理x (y z) =(xyz)mod 4 所以，(xy)z = x (yz)，结合律成立。
(3) ∀x ∈S, (x 1)=(1x)=x,，所以1是单位元。
(4),33,1111==-- 0和2没有逆元所以，〈S ，〉不构成群8. 设Z 为整数集合，在Z 上定义二元运算为∀x,y ∈Z,xoy= x+y-2，问Z 关于o 运算能否构成群为什么 【参考答案】解：(1) ∀x,y ∈Z, xoy= x+y-2Z ∈,o 是Z 上的代数运算。
(2) ∀x,y,z ∈Z,(xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立。
(3)设e 是单位元，∀x ∈Z, xo e = e ox=x,即x+e -2= e +x-2=x, e=2(4) ∀x ∈Z , 设x 的逆元是y, xoy= yox=e , 即x+y-2=y+x-2=2,所以，x y x -==-41所以〈Z ，o 〉构成群9. 令S={a ，b}，S 上有三个运算分别如下表确定。
(a) (b) (c)这三个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？ 【参考答案】(a)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元b b a a ==--11,(b)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律 a b a b b a b a a b b a ==== )(,)(b b a b b a )()(≠没有单位元, 没有零元(c) 不满足交换律，满足结合律和幂等律 没有单位元, 没有零元10 .设集合A = {1 , 2 , 3 , 4} , * 是A 上的二元运算, 其定义为: a * b = a+ ab , 请写出*的运算表。