W( f ) T
1 j fT j fT (e e ) 2j
sin fT T sin c( fT ) fT
(1-33)
Sincθ以2π为周期并随θ的增加而做衰减震荡，是偶 函数，在nπ（n=±1，±2… ）处其值为零。
46
矩形窗函数的幅值频谱为 W ( f ) T sin c( fT ) 矩形窗函数的相位频谱视符号 sin c( fT ) 而定。当 sin c( fT ) 为正值时相角为零，当 sin c( fT ) 为负值时相角为π。
a) 连续时间信号
b)离散时间信号
10
3 能量信号与功率信号
a)能量信号 在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称 为能量信号，满足条件：



x (t )dt
2
一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。
瞬态信号
11
在测量中，常把被测信号转换为电压或电 流信号来处理。当电压信号x(t)加到R=1的 电阻上，其瞬时功率对时间积分就是信号 在该积分时间内的能量（p19）。 注意：信号的功率和能量未必具有真实的 量纲。
cn cnR jcnI cn e jn
式中
cn c
2 nR
cnI c , n arctan cnR
2 nI
25
26
27
例1-2 画出余弦、正弦函数的实、虚频谱图。 解：根据欧拉公式（1-11，12），余弦函数只 有实频谱图，与纵轴偶对称。正弦函数只有虚频 谱图，与纵轴奇对称。 一般周期函数按傅里叶级数的复指数函数形式展 开后，其实频谱总是偶对称的，其虚频谱总是奇 对称的。
直接观察或记录 到的， 以时间为独立变 量表示的信号 通过数学变换转 换而来的， 以频率为独立变 量表示的信号
信号的 时域描述
正变换 逆变换
x (t )
信号的 频域描述
4A 1 sin t n 1 n 2 n , n 1,3,5 , T0
38
1.3.1 傅立叶变换
周期信号，当周期T→∞时，变成非周期信号，
这时就不能用傅立叶级数展开了，但是信号中各
频率成分的比例关系还是存在的，因此我们还希
望研究信号的频率成分，这就需要借助于另外一
种数学方法――傅立叶变换。
39
40
41
于是，
由于时间t是积分变 量，故积分之后仅 是w的函数。
（1-25，26，27）
28
第1章 信号及其描述
29
说明：周期信号的频谱具有如下三个特点： ①周期信号的频谱是离散的。 ②每条谱线只出现在基波频率的整倍数上， 基波频率是各分量频率的公约数。 ③各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值 或相位角。工程中常见的周期信号，其谐 波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减 小的。因此，在频谱分析中没必要取那些 次数过高的谐波分量。
16
例如：表1-1为两个周期方波的二维频谱图， 注意：幅频相同，但相频不同。
17
1.2 周期信号和离散频谱 狄里赫利条件： 1.函数在一周期内极大值与极小值为有限个 2.函数在一周期内间断点为有限个 3.函数在一周期内函数绝对值积分为有限值 即

T
0
f (t ) dt

18
1.2.1 傅里叶级数的三角函数展开式
A
简单周期信号
x (t )
m
k
k xt x0 sin t 0 m
复杂周期信号
6
b) 非周期信号：再不会重复出现的信号。 准周期信号:由多个周期信号合成，其中至少有一对频率 比不是有理数。
x(t ) A1 sin( 2t 1 ) A2 sin( 3t 2 )
得X (t )的傅里叶变换为：

X (t )e 2 ft df x( f )
X (t )
51
应用这个性质， 利用已知的傅里 叶变换对即可得 出相应的变换对。 对称性举例：图 1-14。
52
③ 时间尺度改变特性
X(f ) 1 f 则： x(kt ) X( ) k k f 2 kt 1 2ft k 证明： x ( kt ) e dt x ( kt ) e d (kt ) k 若： x(t )
7
瞬态信号:在有限时间段内存在，或随着时间的增加而幅值 衰减至零的信号。
k xt e x0 sin t 0 m
t
o
m
x(t )
k
0
8
c)随机信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可 预知，所描述物理现象是一种随机过程。
平稳与非平稳
9
2 连续信号与离散信号
47
1.3.2傅立叶变换的主要性质
• 傅立叶变换构建了信号时域描述和频域描述的 对应关系，熟悉傅立叶变换的主要性质，有助于了 解信号在某个域的变化和运算在另一个域中产生何 种相应的变换和运算关系，最终有助于对复杂工程 问题的分析和简化计算。
48
表1-3 傅立叶变换的主要性质
49
50
②对称性 （1-38）
x(t) x(t nT0) x(t) A 0 t T0 / 2 A T0 / 2 t 0
A -T0/2 -T0 0 -A

T0 T0/2
A ( )

0
0
3 0
5 0
7 0
图1-4. 信号的时域描述和信号的频域描述
14
15
信号的频谱：将组成信号的各频率成分按序 排列，以频率为横坐标，分别以幅值和相位为 纵坐标，便分别得到信号的幅频谱和相频谱。 信号时域描述直观地反映信号瞬时值随时间 变化的情况；频域描述则反映信号的频率组成 及其幅值、相角之大小。它们是从两个侧面， 观察事物本质特征的两种不同方法，两种描述 方法能相互转换，而且包含同样的信息量。
x(t ) a0 (an cos n0t bn sin n0t )
n 1
a0 An sin(n0t n )
n 1

（1-7，8，9）
19
20
• 周期信号是由一个或几个、甚至无穷多
个不同频率的谐波叠加而成的，以频率为 横坐标，以幅值和相角为纵坐标作图，则 分别得到幅频谱图和相频谱图，由于n是 整数序列，各频率成分都是w0的整倍数， 相邻频率的间△w=w0=2π/T0，因而谱 线是离散的。通常，把w0成为基频，并把 ) n次谐波。 成分 An sin(n0t n 称为
36
• 如果各个简谐成分的频率比不是有理数，例 如 x(t ) sin w t sin 2w t ,各个简谐成分在合成以后， 不可能经过某一时间间隔后重演，其合成信号就不 是周期信号。但这种信号有离散频谱，故称为准周 期信号。多个独立振源激励起某对象的振动往往是 这类信号。
0 0
37
通常所说的非周期信号是指 瞬变非周期信号。常见的此 类信号如图1-11所示。 图1-11a为矩形脉冲信号， 图1-11b为指数衰减信号， 图1-11c为衰减震荡， 图1-11d为单一脉冲。 • 下面讨论这种非周期信号 的傅立叶变换及其频谱。



)
（1-13，14，15）
24
1.2.2傅里叶级数的复指数函数形式
1 cn 即得： T0
将式（1-8）带入式（1-14），并令 n 0,1,2,,

T0 2 T 0 2
x(t )e jn0t dt
（1-16） （1-17） （1-18，19）
一般情况下，cn 是复数，可以写成
确定性信号：可用明确数学关系式描述的信号。 随机信号：不能用数学关系式描述的信号。
简单周期信号 周期信号 确定性 信号 复杂周期信号 准周期信号
信号
非周期信号 瞬态信号 平稳随机信号 随机 信号 非平稳随机信号
5
a) 周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号 x ( t ) = x ( t + nT )
熊诗波、黄长艺主编
机械工程测试技术基础
中北大学机电工程学院
2008年3月
1
机械工程测试技术基础
第1章 信号及其描述
1.1 信号的分类与描述 1.2 周期信号与离散频谱
1.3 瞬变非周期信号与连续频谱 1.4 随机信号
2
第1章 信号及其描述
1.0 概述
在生产实践和科学试验中，需要观察大量的 现象及其参量的变化。 这些变化量可以通过测量装置变成容易测量、 记录和分析的电信号。 一个信号中包含着被测系统的某些有用信息， 这些信息反映被测系统的状态或特性，它是 人们认识客观事物内在规律、研究事物之间 的相互关系、预测未来发展趋势的依据。
1 f X( ) k k
（1-39）
53
第1章 信号及其描述
时间尺度改变特性举例如图1-15。
54
当时间尺度压缩（k>1）时，频谱的频带加 宽，幅值压低，图1-15c； 当时间尺度扩展（k<1）时，频谱的频带变 窄，幅值增高，图1-15a。 例如：记录磁带慢录快放，时间尺度压缩， 处理信号效率提高，信号频带加宽；记录磁带快 录慢放，时间尺度扩展，处理信号效率降低，信 号频带变窄。
12
b)功率信号 2 当信号x(t)在所分析的区间（-∞，∞），能量 x (t )dt 。此时，在有限区间(t1,t2)内的平均功率是有限的。
1 t 2 t1
一般周期信号

t2
t1
x 2 (t )dt
一般持续时间无限的信号都属于功率信号。
噪声信号
13
1.1.2
信号的时域描述和频域描述
若：x(t ) X ( f ) ； 则： X (t ) x( f ) 证明：x(t ) t 得：x(t ) t x( f ) 所以：