0a（b•
c）
（8）a与b 是两个单位向量，则
2
2
a b

（9）若 a • c b • c,, c 0 ，则 a b
例3：若 | a | 3，| b | 4，a与b的夹角 是600时，求a • b
1、已知 | a | 4，| b | 5，当(1)a || b, (2)a b (3)a与b的夹角为300时，分别求 a与b的数量积.
(- )
(+)
(+ )
(- )
sin a cos a tan a
公式
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
sin(π α) cosα
公式
2
cos(π α) sinα
诱的导三公 角式 函可 数统与α一2 的为三角函数k2π之间α(的k 关Z)
平面向量的数量积
知识回顾：
一、向量的数乘运算的定义：
r
一般地，我们规定实数与向量a的积是一个确定
ur
的向量，记为 a,
其方向和长度规定如下：
rr
（1） a a ; rr
（2） 当 0, a与a的方向相同；当 0,
r
r
rr
a的方向与a的方向相反；当 0， a 0.
6、反馈练习：
判断下列命题是否正确：
（1）a • 0 0 （2）0 a 0
（3）0 AB BA （4）| a • b || a || b |
（5）若 a 0，则对于任一非零b有 a • b 0
（6）若 a • b 0
（7）对于任意向量
，a、则b、ca都、b有至（少a有• b一）个c为
同向：20；反向： 20；（2）,0；，(3)10 3
作业：
P106 1，2
典型例题：
例1：若 | a | 3，| b | 6，当1)、a // b，2)、a b， 3)、a与b的夹角是600时，分别求a • b 4)、a与b不共线，当且仅当k为何值时， a kb与a kb互相垂直
系，奇变偶不变，符号看象限.
讲解新课： 向量的数量积定义
已知两个非零向量a与b ，它们的夹角是 ，
则数量 a b cos 叫a 与 b 的数量积，
记作a • b 即有a • b a b cos(0 )
注：1)零向量与任一向量的数量积为0 ,即 0 • a 0
注意：比较两个向量时,主要看它们的长度和方向
二、向量的夹角
非零向量 a, b,在空间任取一点O，作OA= a
OB=b 则角∠AOB= 叫做向量a与b的夹角。
0 或0o 180o a
注：
b
10当 0时，则称a与b同向.
A a
O
b
B
20当 时，则称a与b反向. 30 当 时,则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
2)、符号“• ” 在向量运算中不是乘号，既不能省略
也不能用“ ”代替。 3)、两个向量的数量积是一个数量。
1、向量数量积的几何意义：P104
说明：这个投影的值可正可负也可以为零，所以 向量的数量积的结果是一个实数。
数量积a •等b于 的a长度 与| 在a | 的b方向a 上的投影 的乘b积co。s
（5）cos a • b
| a || b |
（6）| a • b || a || b |
5、 数量积的运算律
（1）(a)

b

(a
b)

a

(b)
（2） （3）
aa (bb cb)a(a交 b换律a）c(分配律）
想一想：向量的数量积满足结合律பைடு நூலகம்？
是1200时，求(10 a 3b) • (6a 9 b)
3
5
3课本：P121 练习T4、 作业：习题 T4
思考题：a,b是非零向量,且a 3b与7a 5b垂直, a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角
4 、数量积的性质
设a,b都是非零向量, e是与b方向相同的
单（（位21））向aa量• eb， e是•aaa•与bea的c0夹os角，则：
（3）当a与b同向时，a • b | a || b | ； 当a与b反向时，a • b | a || b ；|
（4） a 2 a• a或 a a • a
2
注：在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的
三、特殊角的三角函数值
0 π/6 π/4 π/3 π/2 π
0 sinα 1 2 3 1 0
22 2
1 cosα
3 21 222
0 -1
0 tanα
31
3
0 3 不存在
四、三角函数在象限内的符号
(+ )
（+ ）
(-)
(-)
(- )
(+ )
( -)
(+)
2、数量积的几何意义：
B
b
a b a b cos
O | b | cos
a a b b a cos
A
ab ba
3、数量积的物理意义： F

S
F cos
如果一个物体在力F的作用下产生位移s, 那么力F所做的
功W可用公式计算: W F S | F || S | cos
例2：课本：P120 例2
例3：若 | a | 3，| b | 4，a与b的夹角 是60 0时，求 (2a b) • (3a 2b)
1、若 | a | 6，| b | 7，当1)、a // b，2)、a b，
3)、a与b的夹角是1200时，分别求5 a • 4 b 67
2、若 | a | 8，| b | 10，a与b的夹角