圆锥曲线2018年高考小题解析一、 考点分析1. 点、直线、斜率和倾斜角之间的关系；2. 直线与圆的位置关系判断，以及圆内弦长的求法；3. 掌握椭圆、双曲线、抛物线基础内容，特别是参数之间的计算关系以及独有的性质；4. 掌握圆锥曲线内弦长的计算方法（弦长公式和直线参数方程法）；5. 通过研究第二定义，焦点弦问题，中点弦问题加深对图形的理解能力；6. 动直线过定点问题和动点过定直线问题；7. 定值问题；8. 最值问题。
二、 真题解析1. 直线与圆位置关系以及圆内弦长问题1.【2018全国1文15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于,A B 两点，则||AB =___________解析：2222230(1)4x y y x y ++-=⇒++=，圆心坐标为(0,1)-，半径2r =圆心到直线1y x =+的距离d =||AB ==2.【2018全国2理19文20】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于,A B 两点，||8AB =（1）求l 的方程；（2）求过点,A B 且与C 的准线相切的圆的方程。
解析：（1）直线过焦点，因此属于焦点弦长问题，可以利用焦点弦长公式来求 根据焦点弦长公式可知22||8sin pAB θ==，则sin 2θ=，tan 1θ= 则l 的直线方程为1y x =-（2）由（1）知AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005(1)(1)162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得00003112-6x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或因此所求圆的方程为2222(3)(2)1(11)(+6)1x y x y -+-=-+=或通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切，证明过程如下：在上图中过焦点的直线与抛物线交于,A B 两点，取AB 的中点M ，三点分别向准线作垂线，垂足分别为,,C D N ，因为1()2MN AC BD =+，,AC AF BD BF ==，所以11()22MN AF BF AB =+=，所以AB 为直径的圆与准线相切。
3.【2018北京理10】在极坐标中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________.解析：cos sin (0)a a x y a ρθρθ+=>⇒+= 222cos (1)1x y ρθ=⇒-+=直线与圆相切时1d r ===，解得1a =+4.【2018天津理12】已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1232x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）与该圆相交于,A B 两点，则ABC ∆的面积为___________.解析：222220(1)1x y x x y +-=⇒-+=12232x x y y ⎧=-+⎪⎪⇒+=⎨⎪=-⎪⎩ 圆心(1,0)到直线20x y +-=的距离为2d =，所以||AB == 所以11||22ABC S AB d ∆== 5.【2018天津文 12】在平面直角坐标系中，经过三点(0,0),(1,1)(2,0)的圆的方程为__.解析：(0,0),(1,1)两点的中垂线方程为10x y +-=，(0,0),(2,0)两点的中垂线方程为1x =，联立101x y x +-=⎧⎨=⎩解得圆心坐标为(1,0)，半径1r = 所以圆的方程为22(1)1x y -+=6.【2018江苏选修 C 】在极坐标中，直线l 的方程为sin()26πρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长。
解析：sin()2406x πρθ-=⇒-=224cos (2)4x y ρθ=⇒-+=，设直线与圆相交于,A B 两点圆心(2,0)到直线40x --=的距离212d ==||AB ==2. 椭圆，双曲线，抛物线中基础性的计算问题7.【2018全国1 文4】已知椭圆222:14x y C a +=的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为___________.解析：2,2c b ==所以2228a b c =+=，2c e a ===8.【2018全国2 理5 文6】双曲线22221x y a b-=，则其渐近线方程为___.解析：2223c e a ==，则令223,1c a ==则22b =，所以渐近线方程为by x a=±=9.【2018全国3 文10】已知双曲线2222:1x y C a b-=，则点(4,0)到C的渐近线的距离为_________.解析：ce a==0bx ay -= 所以点(4,0)到渐近线的距离为4b d c ==令1c a ==，则41,bb d c=====因为求的是比值，因此没必要求出,b c 具体的数字，因为无论,b c 是多少，其比值都是相同的。
10.【2018北京 文10】已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.解析：:1l x =，代入到24y ax =得y =4=，1a =（a 只能为正数）11.【2018北京文 12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =_______.解析：22222222452,4c a b a b e a a a ++=====，解得4a = 12.【2018天津理 7】已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为12,d d ，且126d d +=，则双曲线的方程为_______________.解析：如上图，12d d +为右焦点F 到渐近线by x a=的距离的2倍，故126d d =+=，又因为2ce a==，解得223,9a b == 所以双曲线的方程为22139x y -= 13.【2018江苏8】在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c ，则其离心率的值是_________.解析：双曲线的渐近线为0bx ay -=，d b ===所以2e === 14.【2018浙江2】双曲线2213x y -=的焦点坐标是_________. 解析：222223,1,4a b c a b ===+=，且焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(2,0),(2,0)-15.【2018上海1】设P 为椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为__________.解析：25,a a ==，P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a =16.【2018上海6】双曲线2214x y -=的渐近线方程为__________. 解析：224,1a b ==，所以渐近线方程为12b y x x a =±=±17.【2018全国1 理8】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于,M N 两点，则FM FN ⋅u u u u r u u u r=__________.解析：(1,0)F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线方程为2433y x =+，设1122(,),N(,)M x y x y ，联立22121245405,42433y x x x x x x x y x ⎧=⎪⇒-+=⇒+==⎨=+⎪⎩所以1212()18FM FN x x x x ⋅=-+++=u u u u r u u u r18.【2018江苏 12】在平面直角坐标系xoy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B 以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D 。
若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为__________.解析：因为AD BD ⊥，所以||BD 为点B 到直线2y x =的距离，所以BD ==ABD ∆为等腰直角三角形，所以AB ==设(,2)A m m=，且0m > 解得3m =3. 圆锥曲线的离心率问题19.【2018全国2 理12】已知12,F F 是椭圆2222:1x y C a b+=的左右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过点A 12PF F ∆为等腰三角形，12120F F P ︒∠=，则C 的离心率为________.解析：如上图，212222,60,PF F F c PF Q F Q c PQ ︒==∠=⇒==所以(2)P c，因为(,0)A a -所以1264AP K e c a ==⇒=+ 20.【2018全国2 文11】已知12,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ︒∠=，则C 的离心率是________.解析：因为12||2F F c =,12PF PF ⊥且2160PF F ︒∠=，则21||,||PF c PF ==所以12||||(12PF PF c a +==，解得1ce a== 21.【2018全国3 理11】设12,F F 是双曲线2222:1x y C a b-=的左右焦点，O 是坐标原点，过1F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若1|||PF OP =，则双曲线的离心率为_______.解析：由题意知：2:()a PF y x c b=--联立()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2(,)a ab P c c2222221|||()()6[()()]a ab a ab PF OP c c c c c=⇒++=+解得e =22.【2018北京理14】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为___________;双曲线的N 的离心率为____.解析：如上图，点P 在椭圆上，也在以12F F为直径的圆上，所以12211290,30,F PF PF F PF c PF ︒︒∠=∠===，所以12(12PF PF c a +==，解得1e =在上图中，260QOF ︒∠=，所以2be a=⇒= 4. 最值和范围问题23.【2018 全国3 理6文8】直线20x y ++=分别于x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是___________.解析：(2,0),(0,2),(2)A B P θθ--+，(2,2),(4)AB AP θθ=-=+u u u r u u u r此处用到了三角函数方法和向量法求三角形面积的公式24.【2018北京理7】在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当,m θ变化时，d 的最大值为__________.解析：题目中如果是按照常规的点到直线距离来算，则要同时面对两个变量，点P 在单位圆上，则d 最大时等于圆心(0,0)到直线的距离加半径，这样就可以不用考虑θ的变化对最值的影响。