美妙的勾股定理
——数形结合之美
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42
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勾 股
勾股弦的定义
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 "勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”， 斜边称为“弦”.
勾股定理的由来
走 进 数 学 史
这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉 斯定理”。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世 纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。
朱实 中黄实 b (b-a)2 a
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那么： c2 4 ab (b a)2 得： c2 =a2+ b2．
A Mc
由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK ．
同理可证S矩形MNEB＝S正方形CBFG．
∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG． 即S正方形ADEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG ，
DN
也就是 a2+b2=c2．
F B
E 返回
刘徽的证法
刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明：
在这数百种证明方法中，有 的十分精彩，有的十分简洁，有 的因为证明者身份的特殊而非常 著名。
现在在网络上看到较多的是 16种,包括前面的6种,还有:
返回
A
B
这棵树漂亮吗？如果在树上挂上 几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小 彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不 是更像一棵圣诞树．
也许有人会问：“它与勾股定理 有什么关系吗？”
1．传说中毕达哥拉斯的证法 2．赵爽弦图的证法 3．刘徽的证法 4．美国第20任总统茄菲尔德的证法 5．其他证法
勾股定理是几何学中的明珠， 所以它充满魅力，千百年来，人 们对它的证明趋之若骛，其中有 著名的数学家，也有业余数学爱 好者，有普通的老百姓，也有尊 贵的政要权贵，甚至有国家总统。 也许是因为勾股定理既重要又简 单，更容易吸引人，才使它成百 次地反复被人炒作，反复被人论 证。有资料表明，关于勾股定理 的证明方法已有500余种，仅我 国清末数学家华蘅芳就提供了二 十多种精彩的证法。
∵由于矩形ADNM和△ADC同底（AD），等高(即平行线AD和CN间的距离)，
∴S矩形ADNM＝2S△ADC． 又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等高（即
G
平行线AK和BH间的距离）， ∴S正方形ACHK＝2S△ABK．
H C
∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB， K
b
a
∴△ADC≌△ABK．
股 A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC 定 理
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？ 返回
C Aa c
b B
SA+SB=SC探 SA=a2 索 SB=b2 勾 SC=c2 股
a2+b2=c2 定
理
传说中毕达哥拉斯的证法
证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CN⊥DE 交AB于M，那么正方形ABED被分成两个矩形．连结CD和KB．
勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各
从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开 方除之，即弦也．
I
令正方形ABCD为朱方，正方
形BEFG为青方．在BG间取一点H，
E
使AH=BG，裁下△ADH，移至
D
C
F
△CDI，裁下△HGF，移至△IEF，
是为“出入相补，各从其类”，其
余不动，则形成弦方正方形
A
DHFI．勾股定理由此得证．
BH
G
返回
赵爽弦图的证法
我国对勾股定理的证明采取的是 割补法，最早的形式见于公元三、四 世纪赵爽的《勾股圆方图注》．在这 篇短文中，赵爽画了一张他所谓的 c “弦图”，其中每一个直角三角形称 为“朱实”，中间的一个正方形称为 “中黄实”，以弦为边的大正方形叫 “弦实”，所以，如果以a、b、c分别 表示勾、股、弦之长，
事实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高
的话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。 毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世
纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几 里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》 时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个 定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。（为了庆祝这一定理
仔细看看，你会发现，奥妙在树 干和树枝上，整棵树都是由下方的这 个基本图形组成的：一个直角三角形 以及分别以它的每边为一边向外所作 的正方形．
这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达 哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理．
传说中毕达哥拉斯的证法
关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的
文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的《几
何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正
方形等于两直角边上的两个正方形之和”．其证明是用
面积来进行的．
G
已知：如图，以在Rt△ABC中，
H
F
∠ACB=90°，分别以a、b、c 为边向外作正方形．
C
K
b
a c
A．
D
E
数
也角友
学
来三家 观角作 相
故
察形客 传 下三， 两
事 链
面边发 千
探 的 的 现 五
图某朋 百 案种友 年
接
索 ， 数 家 前
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勾 看 关 砖 一
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发同的 达 现学地 哥
定 什 们 面 拉
么，反 斯
理 ？ 我 映 去 们直朋
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
探
C
索
勾
在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记 录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修 四，经隅五。“什么是”勾、股“呢？在中国古代，人们把弯曲成
直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高那
段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边） 和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个
的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做 “百牛定理”．）
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勾股定理的证明
两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人 们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨 和研究它的证明．因此不断出现关于勾股定理的新证法．