二项式定理
第一课时
说课人：王文敏 时海燕 2010.4.6
教学目标：
（1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式
项数的规律；
（2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开。
教学过程：
一、复习：
公式：⑴22202122
222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；
⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++． 二、新课讲解：
1．二项式定理：
①4()a b +的展开式：4
()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ，
展开式各项的系数：上面4个括号中，
每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；
恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，
恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，
恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，
有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ，
∴40413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++．
②()n a b +的展开式：()n a b +的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n
a ，n a
b ，…，n r r a b -，…，n b ，展开式各项的系数：
每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ；
恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……，
恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n r r a
b -的系数是r n C ，……， 有n 都取b 的情况有n n C 种，n b 的系数是n n C ，
∴01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，
这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的二项展开式，它
有1n +项，
各项的系数(0,1,)r n C r n =叫二项式系数，r n r r n C a b -叫二项展开式的通项，用1r T +表
示，
根据其特点，注意以下几个问题：
1、通项1r n r r r n T C a b -+=．注意这是第1r +项，不是第r 项；
2、共有1n +项；
3、各项里a 的指数从n 起依次减少1， 直到0为止；b 的指数从0起依次增加1，直到
n 为止；即：a 按降幂排列，b 按升幂排列
4、每一项里a 、b 的指数和均为n ；
5、每一项的二项式系数为：0n C ，1n C 。
r n C 。
n n C
6、(1)n x +的展开式：二项式定理中，设1,a b x ==，
则(1)n x += 7、()n x +1的展开式：二项式定理中，设x b a -==,1
=-n x )1(
三、例题
例1．展开31(1)x +．
例2．展开6
，并指出第二项、第二项的二项式系数、第二项系数分别是什么。
例3．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．
例4．求12()x a +的展开式中的倒数第6项。
例5.求9(
3x +
的展开式的中间两项以及常数项。
四、课堂小结：掌握二项式定理，二项展开式的通项公式，并会求其指定项。
第二课时
教学目标
（1）深入理解并掌握二项式定理；
（2）会运用展开式的通项公式求展开式的特定项。
教学过程
一、复习回顾：1、从项数、指数、系数、通项几个特征熟记二项式定理的展开式？
2、求122)12(x
x + 的展开式中不含的x 的项。
二、例题讲解、 例1、求2
4(2)x x +-的展开式中含4x 的项.
例2、求10
2)1)(1(x x x -++的展开式中，4x 的系数。
例3 、如果在（x +421
x ）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，
（1） 求 n
（2） 求展开式中的有理项.
（3） 求二项式系数最大的项
练习：求10
)2(x +的展开式中系数最大的项
三、课堂小结：本节重在理解并掌握二项式定理；并会运用展开式的通项公式求展开式v
的特定项。
第三课时
学习目标：1.掌握并会应用二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系
数的和。
2.学会用“赋值法”解决与二项式系数有关的问题。
教学重点：二项式系数的性质
教学难点：用“赋值法”解决与二项式系数有关的问题。
教学过程：
一．复习回顾
()
n a b +＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…C r n a n －r b r ＋…C n n b n 二．讲授新课 ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1，2，3…时，如下表所示：（见课本P106） 由学生发现规律：每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。
共同分析原因：C 1r n +＝C 1r n -＋C r n
课本118P 的表可称为二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解
九章算术》中就有所记载，称为杨辉三角。
此表将二项式系数的性质表现得淋
漓尽致。
比法国的数学家帕斯卡要早五百年左右，这是中华民族的自豪。
由此表，归纳二项式系数的主要性质。
1． 对称性：即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。
2． 增减性与最大值：
当k<12n +时，二项式系数是逐渐增大的；当k>12
n +时，二项式系数是逐渐减小的； 当n 是偶数时，C 2n
n 最大；当n 是奇数时，C 12n n -，C 1
2n n +相等，且最大。
3．各二项式系数的和
()n a b +的展开式中的各个二项式系数的和等于n 2。
即：n n n n n n n n C C C C C 21210=+++++-
练习：121P 练习1
三．例题分析
例1：证明在()n
a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于项的二项式系数的和。
练习：证明：（1）164202-=+++++n n n n n n n C C C C C
（2）,729242210=++++n n n n n n C C C C 则：
=++++-n n n n n n C C C C 121
例2：设=++++++++n x x x x )1()1()1()1(32 n n x a x a x a a ++++ 2210当254210=++++n a a a a 时，求n 的值
例3、设()525012521-=++++x a a x a x a x ，求：
（1）543210a a a a a a +++++
（2）4321a a a a +++
（3）135a a a ++；
（4）420a a a ++
（5）()()22
024135a a a a a a ++-++
（6）012345a a a a a a +++++
例4、求10
32)1()1()1()1(x x x x ++++++++ 展开式中3x 的系数
四、课堂小结:.会用“赋值法”解决与二项式系数有关的问题
第四课时
学习目标：1、应用二项式定理解决整除问题、近似值问题。
2、二项式的综合应用
教学重点：应用二项式定理解决整除问题、近似值问题。
教学难点：二项式的综合应用
例1：用二项式定理证明：
（1）（n ＋1）n －1能被n 2整除；
（2）9910－1能被1000整除；
练习：已知：)(122
2212211+---∈+++++=N n C C C S n n n n n n n n 求证：当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除
例2：求()5
1.997精确到0.001的近似值．
例3、求证：1321232-⋅=++++n n n n n n n nC C C C
例3：已知（1＋x ）n 的展开式中第四项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数。
练习：已知：n x x )2(2
的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为314，求展开式的常数项。
课堂小结:.应用二项式定理解决整除问题、近似值问题，以及二项式定理的综合应用。