工具
第五章
数列
栏目导引
【变式训练】 公式：
1.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项
(1)－1,7，－13,19，„ (2)0.8,0.88,0.888，„ 1 1 5 13 29 61 (3) ， ，－ ， ，－ ， ，„ 2 4 8 16 32 64 (4)0,1,0,1，„
解析： (1)符号问题可通过(－1)n 表示，其各项的绝对值的排列规 律为： 后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6， 故通项公式为 an＝(－ 1)n(6n－5)． 8 8 8 (2)将数列变形为9(1－0.1)，9(1－0.01)，9(1－0.001)，„， 1 8 ∴an＝ 1－10n. 9
工具
第五章
数列
栏目导引
第五章
数
列
工具
第五章
数列
栏目导引
工具
第五章
数列
栏目导引
1．数列的概念
按照一定次序 排列着的一列数叫做数列，一般用 {an} 表示．
2．数列的分类 分类原则 按项数分类 有穷数列 无穷数列 类型 满足条件 项数 有限 项数 无限
递增数列
按项与项 间的大小 关系分类 递减数列 常数列 摆动数列
工具
第五章
数列
栏目导引
写出下列各数列的一个通项公式： 1 3 7 15 31 (1)4,6,8,10，„；(2)2，4，8，16，32，„； 2 10 17 26 37 (3)3，－1， 7 ，－ 9 ， 11，－13，„； (4)3,33,333,3 333，„.
解析： (1)各项是从 4 开始的偶数， 所以 an＝2n＋2. (2)每一项分子比分母少 1，而分母可依次写为 21,22,23,24,25，„，故 2n－1 所求数列的一个通项公式可写为 an＝ 2n . (3)带有正负号，故每项中必须含有(－1)n＋1 这个因式，而后去掉负 号，观察可得．
0n为正奇数 1＋－1n 1＋cos nπ (4)an＝ 或 an＝ 或 an＝ . 2 2 1n为正偶数
工具
第五章
数列
栏目导引
1．已知数列的递推公式求通项，可把每相邻两项的关系列出来，
抓住它们的特点进行适当处理，有时借助拆分或取倒数等方法构造等差 数列或等比数列，转化为等差数列或等比数列的通项问题．
递推公式．
工具
第五章
数列
栏目导引
1．下列说法正确的是(
)
A．数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} B．数列 1,0，－1，－2 与数列－2，－1,0,1 是相同的数列
n＋1 1 的第 k 项为 1＋ C．数列 k n
D．数列 0,2,4,6，„可记为{2n}
解析： 根据数列的定义与集合定义的不同可知 A，B 不正确，D n＋1 1 项{2n}中的 n∈N＋，故不正确，C 中 an＝ n ，∴ak＝1＋k.
答案： C
工具
第五章
数列
栏目导引
2．已知数列 3， 7， 11， 15，„，则 5 3是数列的( A．第 18 项 C．第 17 项
解析：
)
B．第 19 项 D．第 20 项
∵7－3＝11－7＝15－11＝4，即an2－an－12＝4，∴an2＝3
＋(n－1)×4＝4n－1，令4n－1＝75，则n＝19.故选B.
工具
第五章
数列
栏目导引
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法， 它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠 的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1 来调 整．
3．观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项
与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、 奇偶数列等)转换而使问题得到解决．
4.了解等差数列与一次函数的关系．
工具
第五章
数列
栏目导引
知识点
考纲下载 1.理解等比数列的概念． 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等比数列
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有 关知识解决相应的问题． 4.了解等比数列与指数函数的关系．
数列求和
掌握等差、等比数列前n项和公式.
工具
第五章
数列
栏目导引
5 将第二项－1 写成－ . 5 分母可化为 3,5,7,9,11,13，„为正奇数， 而分子可化为 12＋1,22＋1,32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，„，故其一个通 项公式可写为： an＝(－1)
n＋1
n2＋1 · . 2n＋1
9 99 999 9 999 (4)将数列各项改写为 ， ， ， ，„，分母都是 3，而分子 3 3 3 3 分别是 10－1,102－1,103－1,104－1，„， 1 所以 an＝3(10n－1)．
答案： A
工具
第五章
数列
栏目导引
1．数列的概念及简单表示 数列中的数是有序的，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同； 数列的简单表示要类比函数的表示方法来理解．数列{an}可以看作是一 个定义域为正整数集或它的子集{1,2,3，„，n}的一列函数值． 2．由数列的前几项归纳出其通项公式 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几
解析：
设{an}的首项为a1，公比为q，若a1＜a2，则q＞1，从而有
a1qn－1＜a1qn，即an＜an＋1，因此{an}是递增的等比数列；反之，若{an}是 递增数列且a1＞0，则必有q＞1，故a1＜a2，因此选C. 答案： C
工具
第五章
数列
栏目导引
1 1 【变式训练】 3.已知数列{an}满足 an＋1＝ ，若 a1＝2，则 a2 011 1－an ＝( A. ) 1 2 B．2 D．1
提示： 不唯一， 如数列－1,1， －1,1， „的通项公式可以是 an＝(－
－1n为正奇数， 1) 或 an＝ 有的数列没有通项公式． 1n为正偶数，
n
工具
第五章
数列
栏目导引
5．数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－
1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的
解析： (1)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋„＋(a2－a1)＋a1 ＝(3n－1)＋(3n－4)＋„＋5＋2 2＋3n－1 n3n＋1 ＝ ×n＝ (n≥2)． 2 2
工具
第五章
数列
栏目导引
1 当 n＝1 时，a1＝ ×(3×1＋1)＝2 符合公式， 2 3 2 n ∴an＝ n ＋ . 2 2 (2)∵an＝ ∴an－1＝ „ 1 a2＝ a1.以上(n－1)个式子相乘得 2 1 2 n－1 a1 1 an＝a1··„ ＝ ＝ . 23 n n n
工具
第五章
数列
栏目导引
知识点
考纲下载
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通
数列
项公式)． 2.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数．
1.理解等差数列的概念． 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． 等差数列 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有 关知识解决相应的问题．
工具
第五章
数列
栏目导引
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝2×5－2＝8. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2·n－2－2·n－1＋2 5 5 ＝8·n－1. 5 ∴当 n＝1 时也适合 an，故 an＝8·n－1. 5
工具
第五章
数列
栏目导引
1． 因为数列是一类特殊的函数， 因而数列也具备一般函数应具备的 性质． 2．求数列的最大(小)项，一般可以先研究数列的单调性，可以用
1 解析： an＝ ＝ n＋1－ n， n＋1＋ n ∴Sn＝( 2－ 1)＋( 3－ 2)＋„＋( n＋1－ n) ＝ n＋1－1＝9. ∴n＝99.
答案： 99
工具
第五章
数列
栏目导引
工具
第五章
数列
栏目导引
1．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住
以下几方面的特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
an≥an－1 an≤an－1 或 ，也可以转化为函数最值问题或利用数形结合． an≥an＋1 an≤an＋1
工具
第五章
数列
栏目导引
(2010·山东卷)设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是 “数列{an}是递增数列”的( A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 ) B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
工具
an＋1 ＞ an
an＋1＜ an an＋1＝an
其中 n∈N＋
从第二项起，有些项大 于它的前一项，有些项 小于它的前一项
数列
栏目导引
第五章
3.数列与函数的关系 (1)从函数观点看，数列可以看成是以 正整数集N＋(或N＋的有限子 集{1,2,3，„，n}) 为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大 的顺序依次取值时所对应的一列 函数值 (2)数列同函数一样有 解析法 、 ．
工具
第五章
数列
栏目导引
(3)各项的分母分别为 21,22,23,24，„，易看出第 2,3,4 项的绝对值的 2－3 分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为－ ，至此原数列已化为－ 2 21－3 22－3 23－3 24－3 21 ， 22 ，－ 23 ， 24 ，„， 2n－3 ∴an＝(－1)n· 2n .