高一数学预科班第一
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第一节集合的含义与关系
知识点： (1)集合：某些指定的集在一起就成为一个集合．常用大写字母A、
B、C等来表示．
(2)常用的数集及记法：
①非负整数集(自然数集)全体非负整数的集合．记作．
②正整数集：非负整数集内排除0的集合．记作
③整数集：全体整数的集合．记作
④有理数集：全体有理数的集合．记作
⑤实数集：全体实数的集合．记作
(3)元素及元素与集合的关系：
元素：集合中的每个叫做这个集合的元素．常用小写字母a，b，c，……来表示．如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作a A，否则a A．
(4)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号“｛｝”内，元素与元素之间用“，”分开，这样的表示方法叫列举法．
(5)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法．
(6)有限集：含有有限个元素的集合叫有限集．
(7)无限集：含有无限个元素的集合叫无限集．
（8）集合中的元素必须具有三大特性“”．
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①：是指集合中的元素必须是确定的，即任何一个对象都能判断它是或不是某个集合的元素，二者必居其一．如“接近于0的实数”接近由于没有一个确定的界性，故0．001是否属于这个集合不能判断，所以这不能组成一个集合．
②：是指集合中的元素互不相同，即同一个集合中不能出现同一个元素两次，如：｛1，0，a2｝表示一个集合，则 a≠±1．
③：集合中的元素无先后顺序，如｛1，2｝与｛2，1｝是同一个集合．
二、集合间的基本关系
1 子集：对于集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集
合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：A B(或B A)，图1—1
所示表示：
这时我们也说集合A是集合B的子集．
2 集合的相等：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，
同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素．我们说集合A等于集合
B，记作：A＝B．
即对于集合A，B，如果A B，同时B A，那么A＝B．
3．真子集：对于两个集合A与B，如果A B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B 的真子集，记作A B(或B A)．
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4．空集是
5 知识拓宽
含有n 个元素的集合有几个子集？
问：∈与⊆的区别是什么？
［例1］若A ＝｛a ，b ｝；B ＝｛x ｜x ∈A ｝，则集合A 与集合B 的关系是( )
A ．
B ⊆A B ．B A
C ．B ∈A
D ．B ∉A
［例2］已知A ＝{x|x ＜－1或x ＞2}，B ＝{x|4x ＋p ＜0}，当A ⊇B 时，求实数p 的取值
范围．
答案：p ≥4
［例3］下列集合中表示空集的是( )
A ．{x ∈R|x ＋5＝5}
B ．{x ∈R|x ＋5＞5}
C ．{x ∈R|x 2＝0}
D ．{x ∈R|x 2＋x ＋1＝0}
一、选择题
1．在“①很大的有理数；②方程x 2＋1＝0的实数根；③直角坐标平面的第二象限的一些点；④所有等腰直角三角形”中，能够表示成集合的是
A ．②
B ．②③④
C ．②④
D ．①②③④
答案C 提示：因为“大”“一些”没有具体的界线．
2．方程组⎩⎨⎧=-=+13y x y x 的解集是
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A ．｛2，1｝
B ．｛x ＝2，y ＝1｝
C ．｛(2，1)｝
D ．｛(x ，y)｜(2，
1)｝ 答案D 提示：因为⎩⎨⎧=-=+1y x 3y x 的解为⎩⎨⎧==1y 2x 写成集合的形式为｛(x ，y)｜(2，1)｝．
3．下列四个关系式中，正确的是
A ．集合N 中最小元素为1
B ．0.7∈Q
C ．｛a ｝∈｛a ，b ｝
D ．｛a ｝∈a
答案B
4．下列各题中的M 与P 表示同一个集合的是
A ．M ＝｛(1，－3)｝ P ＝｛(－3，1)｝
B ．M ＝{3，4} P ＝｛（3，4）｝
C ．M ＝｛y ｜y ＝x 2＋1，x ∈R ｝ P ＝｛(x ，y)｜y ＝x 2＋1，x ∈R ｝
D ．M ＝｛y ｜y ＝x 2＋1，x ∈R ｝ P ＝｛t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R ｝
答案D 提示：因为(1，－3)与(－3，1)是不同的点，而C 中M 是数集，P 是点集．
二、填空题
5．设21∈｛x ｜x 2－ax －25
＝0｝，则a ＝_________． 答案－29 提示：由题意知21是x 2－ax －25＝0的一个根，所以，252
141--a ＝0，所以a ＝－29
6．设A ＝｛x ｜x ＝2k ，k ∈Z ｝，B ＝｛x ｜x ＝2k －1，k ∈Z ｝，C ＝｛x ｜x ＝4k ＋1，k ∈Z ｝，a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ∈_________．填(A 或B 或C)
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 答案B 提示：因为A 是偶数集，B 是奇数集．∴a ＋b 是奇数．即a ＋b ∈B ．
7．｛n ｜5n
是整数，｜n ｜≤20｝＝_________．
答案 提示：｛n ｜5n
是整数，｜n ｜≤20｝＝｛－20，－15，－10，－5，0，5，10，15，20｝
三、解答题
8．若－3∈｛a 2－2a －3，2a 2－a －4，a 2＋1｝，求实数a 的值构成的集合． 答案解：∵－3∈｛a 2－2a －3，2a 2－a －4，a 2＋1｝．
∴a 2－2a －3＝－3或2a 2－a －4＝－3．
∴a ＝0，2，1，－21
．
经检验a ＝0，2，1，－21
均合题意．
∴a 的值构成的集合为｛0，2，1，－21
｝．
【同步达纲练习】
一、选择题
1．下列关系不正确的是
A ．R ⊆Q
B ．R ⊇Z
C ．N ⊆N
D ．Z ⊆Q
2．设集合A ＝｛x ｜x ≤10｝，a ＝3，则
A ．a A
B ．a ∉A
C ．｛a ｝∈A
D ．｛a ｝ A
3．设M＝｛x｜x＞
}
3
1
，则①0⊆M，②∅⊆M，③｛0｝M，④｛3
1
｝M，其中
正确命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
4．集合M＝｛y｜y＝x 2－2x－1，x∈R｝，N＝｛x｜－2≤x≤4，x∈R｝，则M与N的关系是
A．M＝N B．M N C．M N D．无法确定
5.下面四个命题正确的是:
A．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 B 空集是任何集合的子集
C．空集有真子集 D．∅={0}
二、填空题
6．集合M＝｛0｝，N＝｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝，则M_________N．
7．满足｛1，0｝M⊆｛0，1，2，3，4｝的不同集合M有___________．
8．非空集合M满足①M⊆｛1，2，3，4，5｝；②对于M中的任何一个元素a，都能使得6－a∈M ．则同时满足①，②的M共有_________个．
三、解答题
9．设A＝｛x｜x≥－2－b，b∈R｝，B＝｛y｜y＝2x2＋1，x∈R｝．当A B时，求b的取值集合．
10 设集合A={x| x2＋4x=0},B ={x| x2＋2(a+1)x+ 2a-1=0 , a∈R} 若B⊆A ，求实数a 的取值范围。

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