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马柯维茨的资产组合理论
马柯维兹 (Harry Markowitz)1952 年在 Journal of Finance发表了论文《资产组合的选择》，标志着现代 投资理论发展的开端。 马克维茨 1927 年 8 月出生于芝加哥一个店主家庭， 大学在芝大读经济系。在研究生期间，他作为库普曼的 助研，参加了计量经济学会的证券市场研究工作。他的 导师是芝大商学院院长《财务学杂志》主编凯彻姆教授。 凯要马克维茨去读威廉姆斯的《投资价值理论》一书。 马想为什么投资者并不简单地选内在价值最大的股 票，他终于明白，投资者不仅要考虑收益，还担心风险， 分散投资是为了分散风险。同时考虑投资的收益和风险， 马是第一人。当时主流意见是集中投资。
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情况三：证券收益间出现完全负相关时的情形： 以 m=2 为例， 12 1，此时有：
这说明，证券收益间呈完全负相关时，投资组合的风险等于两证券风险相减的 绝对值。由此可见，为了减少风险，投资者应选择具有负相关性的证券加入投资组 合；这时，负相关性越强，证券组合的风险就越小。 在这种情况下，经验丰富的投资者往往采用风险冲销策略，特别是在期货市场 中，投资者可以调节个别证券或期货的持有量，使其相对持有比例与各证券相对风 险成正比，即 W1 / W2 2 / 1 。此时，
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第二节 波动性风险度量方法

一、均值-方差理论 二、测量方法
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一、均值-方差理论
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1.现代证券组合理论（Modern Portfolio Theory）是关于在收益不确定条件下投资行为的 理论， 它由美国经济学家哈里· 马科维兹在1952年率先提 出。 该理论为那些想增加个人财富，但又不甘冒风险 的投资者指明了一个获得最佳投资决策的方向。 风险与收益相伴而生。即投资者追求高收益则可 能面临高风险。投资者大多采用组合投资以便降 低风险。但是，分散化投资在降低风险的同时， 也可能降低收益。 马科维兹的证券组合理论就是针对风险和收益这 一矛盾而提出的。
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进一步讨论一下: 情况一：各证券收益完全正相关 即 ij 1 ，此时我们可以得到：
这表明，如果各证券完全正相关，则证券组合的总风险等于各证券风险的加 权平均，此时投资多元化对减少风险毫无作用。
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情况二：各证券收益完全不相关 即 ij 0(i j) ，此时我们可以得出：
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1．单个证券的标准差
对于单个证券来说，其标准差的计算如下： 首先，当收益率 r 为离散型随机变量时，
E (r ) ri pi
i 1
n
2 (r ) [ri E (r )]2 pi
i 1
n
在这里，我们把收益率 r 当作一个随机变量，ri , pi (i 1, 2,……, n) 为可能的收 益率及其对应的概率； E (r ) 为收益率 r 的数学期望，称为期望收益率； 2 (r ) 为 收益率 r 的方差； (r ) 为收益率 r 的标准差。 其次，若收益率 r 是一个连续型的随机变量，设 f (r ) 为 r 的概率密度函数， 则：
i
cov( ri , rM )
2 M
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可见， i 不仅表示的是投资组合 i 的收益率受市场组合收益率影响的程度，
2 而且代表证券组合 i 在整个市场组合方差 M 中的贡献份额。于是我们可以用
系数来测量某证券或证券组合的风险。当 i 0 时，证券组合 i 的收益率与市场 同向（同涨同跌） ；当 i 0 时，证券组合 i 的收益率与市场反向。从风险的角度 来看，当 | i | 1 ，证券投资组合 i 承受的风险大于市场组合的风险，此时证券或 证券组合 i 为进取型；当 | i | 1 时，证券投资组合承受的风险小于市场组合的风 险，此时证券组合 i 为保守型。 灵敏度分析法比较适合简单的金融工具在市场因子变化较小的情形， 对于复杂的 证券组合及市场因子的大幅波动情形，灵敏度方法或者准确性差，或者由于复杂 而失去了其原有的简单直观性。
金 融 风 险 传 统 度 量

金融风险是金融活动相伴随的，是每个投资 者和消费者均需面临的重大问题，也是经济 实体，特别是金融机构生存和发展的关键！ 专家学者们一直在探讨各种不同的风险指标 来反映金融风险的大小。
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第一节 概述



最初的金融市场风险度量：某一资产组合的 市场风险就是该资产组合的整个价值，如证 券组合的价值是1000万元，则其风险也是 1000万元，因为在市场交易中它可能全部损 失。这就是名义量法，它认为进入交易的资 产组合都处于风险之中。 然而，实际中，资产可能只是部分处于风险 中。 为了更精确地反映资产组合的真实风险状况， 针对风险不确定性和系统性的特点，开发了 波动性、β等风险度量方法。
t 1 t
其中 1 代表单位观察期间的标准差， t 表示观察期间为 t 的标准差。
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3．需要注意的问题


(2)在计算证券收益的方差时，我们只能获得 收益的历史数据，未来收益的有关数据、概率 分布我们无法确知 在一般情况下，我们是以收益的历史数据和概 率分布来估计未来收益的方差。这样，利用方 差来测定风险必然存在一定的误差。从另一个 角度来说，标准差或方差在风险测定中的运用 应满足一个基本前提，即证券风险具有连续性， 未来风险是过去风险的延续。
由于 Wi 均小于 1， Wi 2 有助于减少证券组合的风险，即证券的分散投资可以 降低风险。如：当 Wi 1/ m ，各证券方差均相同时，有：
2 i 2 / m 或 i / m1/ 2
当 m→∞时，σ →0，这表明，证券组合中证券个数越多，投资组合的风险 越小，分散投资减少风险的作用越明显。
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一、波动性方法

方差或标准差法亦称波动分析法。这种方 法是运用概率论中的方差或标准差来测量 和比较不同证券资产的风险，即根据证券 资产的收益和概率分布，先计算出收益的 数学期望，然后计算它和实际收益的偏差 程度(方差或标准差)，以此来衡量证券资产 的风险。方差或标准差越大，对应的证券 资产风险越大。若比较两种不同证券资产 之间的风险，则需使用标准差与收益或损 失变量的当前值之比来比较。
E (r ) rf (r )dr


(r ) [r E (r )]2 f (r )dr


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2．证券组合的标准差
设有 m 个证券组成的投资组合，各证券 i 的标准差记为 i ，整个组合的标准 差记为 ，各个证券 i 在组合中的权重记为 Wi ；则：
这时证券组合的风险为 0， 它表示通过风险冲销策略的运用能使组合投资风险消失。
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3．需要注意的问题
(1)计算标准差时需要先确定观测期间和有关随机变量的概率分布 观察期间可以是一天、一周、一个月或一年等，如果选择的观察期间不同， 则相应的数据和计算结果与不一样。为了能比较不同观测期间的标准差，可以用 下面公式进行转换：
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单个证券在证券组合风险中的贡献份额。设：
rp wi ri
i 1 n
cov(ri , rp ) wi (ri , rp )
2 p i 1
n
2 这就是说， 单个证券 i 对整个证券组合方差 p 的贡献为 cov(ri , rp ) ， 其贡献率 2 (贡献份额)为 cov(ri , rp ) / p 。 式中 ri , rp 分别表示证券 i 和证券组合的收益率， wi 表
示证券 i 在组合中的权重。
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现在给定单个证券或证券组合 i ，其收益率为 ri ，而整个市场证券组合的收 益率为 rM (市场指数的收益率)。对 ri 和 rM 进行回归，不妨设：
ri i i rM i
其中 E( i ) 0,cov( rM , i ) 0 。由以上两式可以推出：
k 1

n

或 (当 i
r , rj 为连续性随机变量时)：

cov(ri , rj )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ


[ri E (ri )][rj E (rj )] f (ri , rj )drdr i j
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利用协方差与标准差、相关系数的关系，我们可以得到：
写成矩阵形式为：
WW i j cov(r i , rj )
2 i 1 j 1
m
m
其中， cov(ri , rj ) 为证券 i 和证券 j 的协方差：
cov(ri , rj ) E [ri E (ri )][rj E (rj )] [rik E (ri )][rjk E (rj )]
其中 ij 表示证券 i 和 j 收益率之间的协方差，其它同上。以上分析表明，证 券组合的方差或风险由两部分组成，一部分是不能通过分散投资消除的系统风 险，另一部分与各证券收益的相关性有关，即可通过分散投资消除的非系统性风 险。 上式还表明，证券组合的风险不仅与个别证券的风险有关，而且与各证券之间的 相关程度有关。
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波动性方法的缺陷

波动性描述了收益偏离其均值的程度，在一定 程度上度量了金融资产价格的变化程度。但波 动性方法主要存在两个缺点：

①只描述了收益的偏离程度，却没有描述偏离的方 向。而实际中最关心的是负偏离(损失)； ②波动性并没反映证券组合的损失到底是多大。因 此对于随机变量统计特征的完整描述需要引入概率 分布，而不仅仅是方差。