无外力 等距式
1
v0
杆1做a渐小 的加速运动
v1=v2
2
杆2做a渐小 的减速运动
I＝0
无外力 不等距式
v0
2
1
杆1做a渐小 的减速运动
杆2做a渐小 的加速运动
a＝0 I＝0
L1v1=L2v2
四、有外力双棒问题 基本模型 运动特点 最终特征
有外力
等距式
1
杆1做a渐大 F 的加速运动
a1=a2
杆2做a渐小 Δv 恒定
v0
4．运动特点 a减小的减速运动
5．最终状态 静止
O
t
阻尼式单棒
6．三个规律 (1)能量关系：
1 2
mv02
0
Q
v0
QR Qr R r
(2)动量关系： BIl t 0 mv0
q mv0 Bl
q n Bl s
Rr Rr
(3)瞬时加速度： a FB B2l2v
m m(R r)
P
受的安培力。
Q
解析：用a表示金属杆的加速度，在t时刻，金属
杆与初始位置的距离：L 1 at2
2
此时杆的速度： v at
这时，杆与导轨构成的回路的面积：s Ll
回路中的电动势：E S B Blv SK Blv 回路总电阻：R 2Lr0 t
回路电流： I E
R
作用于杆的作用力：F BIl 解得： F 3k2l2 t
2r0
解析 磁通量的变化是由磁场和回路面积同时变化引起 的，两种因素产生的感应电动势的方向是一致的．用a表示金 属杆运动的加速度，在t时刻，金属杆与初始位置的距离 x＝ 1 at2，此时杆的速度v＝at，这时杆与导轨构成的回路的
2
面积S＝xL．回路中的感应电动势E＝E1＋E2＝S·ΔΔBt ＋BtLv.
P
b
N
右手定则
B
匀速运动 F
Q
FA
ILB
P Fv FAv
P I2R
变式训练1 如 图 32 － 5 所 示 ， 两 根 平 行 金 属 导 轨 固 定 在 水 平 桌 面 上，每米导轨的电阻r0＝0.10 Ω，导轨的端点P、Q用电阻可 忽略的导线相连，两导轨间的距离L＝0.20 m．有一随时间 变化的匀强磁场垂直于桌面(图中未画出)，已知磁感应强度B 与时间t的关系为B＝kt，比例系数k＝0.020 T/s．一电阻不计 的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导 轨垂直．在t＝0时刻，金属杆紧靠在PQ端，在外力作用下， 杆以恒定的加速度由静止开始向导轨的另一端滑动，求在t＝ 6.0 s时金属杆所受的安培力．
7．变化
(1)有摩擦 (2)磁场方向不沿竖直方向
练习：AB杆受一冲量作用后以初速度 v0=4m/s，沿水 平面内的固定轨道运动，经一段时间后而停止。AB的 质量为m=5g，导轨宽为L=0.4m，电阻为R=2Ω，其余 的电阻不计，磁感强度B=0.5T，棒和导轨间的动摩擦 因数为μ=0.4，测得杆从运动到停止的过程中通过导线 的电量q=10－2C，求：上述过程中 (g取10m/s2)
而Bt＝kt，则
ΔB Δt
k(t Δt ) kt Δt
k
得：E＝1 at2·L·k＋kt·L·at＝3 akLt2
2
2
回路中的总电阻R＝2Lr0，回路中的感应电流I＝
E R
，作
用于杆的安培力F＝BIL
解得：F＝3k2L2 t＝1.44×10－3 N． 2r0
答案 1.44×10－3 N 点评 若磁通量的变化是由磁场和回路面积同时变化引
起的,则由法拉第电磁感应定律可知E＝ Δ ＝B·ΔS ＋S·ΔB .
Δt
Δt
Δt
值得注意的是：先根据两个感应电动势的方向确定其正负，
再进行求和．
（2003广东物理，18）如图所示，两根平行金属导轨固 定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r0=0.10Ω/m， 导轨的端点P、Q用电阻可以忽略的导线相连，两导轨间 的距离l=0.20m。有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面， 已知磁感应强度B与时间t的关系为B=kt，比例系数 k=0.020T/s。一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦低 滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直。在t=0时刻，金属 杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从 静止开始向导轨的另一端滑动，求在t=6.0s时金属杆所
θ
B
v
(mg
sin
mg
B 2 L2
cos
)R
例2、如图B=0.2T，金属棒ab向右匀速运动，v=5m/s，L=40cm，
电阻R=0.5Ω,其余电阻不计，摩擦也不计，试求：
①感应电动势的大小 ②感应电流的大小和方向
③使金属棒匀速运动所需的拉力 ④感应电流的功率
⑤拉力的功率
E BLv
M
a
R
mr F
(1)AB杆运动的距离；
(2)AB杆运动的时间；
(3)当杆速度为2m/s时其
A
加速度为多大？
v0
R
B
B
发电式单棒
1．电路特点 导体棒相当于电源，当速度
为v时，电动势E＝Blv
2．安培力的特点 安培力为阻力，并随速度增大而增大
FB
BIl
B Blv l ＝ B2l2v Rr Rr
v
3．加速度特点
v
2
的加速运动 I 恒定
有外力
F
不等距式
2
1
杆1做a渐小 的加速运动
杆2做a渐大 的加速运动
a1≠a2 a1、a2恒定
I 恒定
阻尼式单棒
1．电路特点
v0
导体棒相当于电源。
2．安培力的特点
安培力为阻力，并随速 度减小而减小。
3．加速度特点
FB
BIl
B2l 2v Rr
加速度随速度减小而减小
v
a FB B2l 2v m m(R r)
② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
R B2L2 (F mg)t0 B2L2t0
m(F mg)
m
2016（全国新课标I卷，24）（14分）如图，两固定的绝缘斜 面倾角均为θ，上沿相连。两细金属棒ab（仅标出a端）和cd（ 仅标出c端）长度均为L质量分别为2m和m；用两根不可伸长的柔 软轻导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的 两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平。右斜面 上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上。 已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R，两金属棒与斜面 间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g。已知金属棒ab匀 速下滑。求 (1)作用在金属棒ab上的安培力的大小； (2)金属棒运动速度的大小。
m m(R r)
vm
(F
mg)(R
B2l2
r)
发电式单棒
7．稳定后的能量转化规律
F
Fvm
(BLvm )2 Rr
mgvm
8．起动过程中的三个规律
(1)动量关系： Ft BLq mgt mvm 0
(2)能量关系：
Fs
QE
mgS
1 2
mvm2
(3)瞬时加速度：a F FB mg F B2l2v g 0
【解析】（1）导体切割磁感线运动产生的电动势为 E BLv
，
根据欧姆定律，闭合回路中的感应电流为
电阻R消耗的功率为 P I 2R
IE R
联立可得
P B2 L2v2 R
（2）对导体棒受力分析，受到向左的安培力和向左的摩擦
力，向右的外力，三力平衡，故有 F安 mg F
F安
BIl
B
Blv R
l
而Bt＝kt，则
ΔB Δt
k(t Δt ) kt Δt
k
得：E＝1 at2·L·k＋kt·L·at＝3 akLt2
2
2
回路中的总电阻R＝2Lr0，回路中的感应电流I＝
E R
，作
用于杆的安培力F＝BIL
解得：F＝3k2L2 t＝1.44×10－3 N． 2r0
答案 1.44×10－3 N 点评 若磁通量的变化是由磁场和回路面积同时变化引
解：（1）设金属杆进入磁场前加速度为a，进入磁场时速度大
小为v
根据牛顿第二定律：F mg ma ①
根据运动学公式： v at0
电动势： E BLv
①②③联立： E BLt0 (F （2）导棒中电流： I E
mg)
m
R
安培力： F安 BIL
匀速时： F =F安 +mg
④⑤⑥⑦联立得：
图32－5
解析 磁通量的变化是由磁场和回路面积同时变化引起 的，两种因素产生的感应电动势的方向是一致的．用a表示金 属杆运动的加速度，在t时刻，金属杆与初始位置的距离 x＝ 1 at2，此时杆的速度v＝at，这时杆与导轨构成的回路的
2
面积S＝xL．回路中的感应电动势E＝E1＋E2＝S·ΔΔBt ＋BtLv.
联立可得： T mg cos mg sin
选ab为研究对象，受力分析如图：
其沿斜面方向受力平衡： T ' fab F安 Gab sin
垂直于斜面方向受力平衡： Nab Gab cos 且 fab Nab T与T′为作用力与反作用力：T ' T 联立可得：F安 mg sin 3mg cos①
m
m m(R r)
问： q n Bl s
Rr Rr
是否成立？
发电式单棒
9．几种变化 (1) 电路变化
F
(2)磁场方向变化
B
F
(3)拉力变化
(4) 导轨面变化（竖直或倾斜）
B
加沿斜面恒力
F
M
N
通过定滑轮挂