第九章不等式与不等式知识点归纳
一、不等式及其解集和不等式的性质
用不等号表示大小关系的式子叫做不等式。

常见不等号有：“＜” “＞” “≤” “≥” “ ≠ ”。

含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集，解不等式就是求不等式的解集。

注：①在数轴上表示不等式解集时，有等号用实心点，无等号用空心圈。

②方向：大于向右画，小于向左画。

不等式的三个性质：①不等式两边同时加（或减）同一数或式子，不等号不变；
②不等式两边同时乘（或除）同一正数，不等号不变；
③不等式两边同时乘（或除）同一负数，不等号改变。

作差法比较a 与b 的大小：若a-b＞0,则a＞b；若a-b＜0；则a＜b；若a-b=0, 则a=b。

例1 、下列式子中哪些是不等式？
①0a+b=b+a; ②a＜b－5; ③－3＞－5;④x≠1 ；⑤2x-3。

例2、若a<b＜0，m＜0,用不等号填空。

a b a +1 b +122
①a－b 0; ②a－5 b－5; ③－－;④；⑤am bm
2 2
3 2
⑥ab 0；⑦a+m b+m；⑧a²b²；⑨am bm。

例3、①由ax <a ，可得x > 1可得a ；②由ax <a ，可得x＜1 可得a ；
③由mx - 2 ≤ 2x -m可得x ≥-1 ，那么m 。

例4、不等式5(x + 2) ≤ 28 - 2x 的非负整数解是。

二、一元一次不等式及其实际问题
一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不
等式的两边都是整式（即分母中不含未知数），这样的不等式叫做一元一次不等式。

解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（两边每一项同乘分母的最小公倍数）
（2）去括号（括号里每一项都要乘括号前面的系数）（3）移项（变号后移项）
（4）合并同类项（5）将x 项系数化为1（系数为负数要变号）。

一元一次不等式与实际问题（审设列解验答）
常见表示不等关系的关键词：①不超过，不多于，至多，最多（≤）；②不少于，不少于，至少，最少（≥）③之前，少于，低于（＜）；④超过，多于，大于（＞）。

（1）审（找表示不等关系的关键词）; （2）设（把问题中的“至多、至少” 去掉）（3）列;（4）解；（5）验（实际问题是否需要求整数解）；（6）答（加上“至多、至少”作答）。

三、不等式组及其解集，与实际问题
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

不等式组中，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。

一元一次不等式组与实际问题（审设列解验答）
（1）审（找表示不等关系的关键词和题中涉及的两个未知量）; （2）设（设其中一个
未知量，另一个用设的未知数表示）（3）列;（4）解；（5）验（实际问题是否需要求整数解）；（6）答(方案问题要描述清楚)。

一元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例）
类型（设 a>b ）
不等式组的解集 数轴表示
1. （同大型，同大取大） x>a
2. （同小型，同小取小） x<b
3. （一大一小型，小大之间） b<x<a
4. （比大的大，比小的小空集）
无解
特殊：
⎧x ＞3＞ ⎧x ≥ 3 ⎧x 3
⎧x ≥ 3
⎨x ＜3无解，⎨无解无解有⎨解 3 ⎨x ≤ 3 ⎩ ＜；；⎩；x 3 ⎩x ≤
⎩
专题 解决含参数的一元一次不等式（组）
类型一、根据已知不等式（组）的解集，求参数的值(解集是突破口)
方法归纳：①表示解集；②根据已知解集的情况列出方程（组）；③解方程（组）
例 1、若不等式
的解集为 ，求 k 值。

解：化简不等式，得 x≤5k ①，比较已知解集
，得
②，∴ ③。

例 2、若不等式组 的解集是-1<x<1，求(a+1)(b-1)的值？
解：化简不等式组，得 ① ∵ 它的解集是-1<x<1， ∴
也为其解集，比较得
② ∴(a+1)(b -
1)=-6. ③
⎩ ⎩
⎧ 2x + b > 0
练习、不等式组⎨- 3x + 5 ≥ a 的解集为： - 1 < x ≤ 3 ，则 a =
, b =。

类型二、根据已知不等式（组）的特殊解集，求参数的取值范围(解集是突破口) 方法归纳：①表示解集；②根据已知解集的情况列出不等式；③解不等式 例 1、 若关于 x 的不等式 3x-a ＞4（x-1）的解集是负数，求 a 的取值范围？
解：化简不等式得：x ＜4-a ①，∵ 它的解集是负数，∴只要 4-a ≤0 均可满足②∴a≥4③ 练习、若关于 x 的不等式-3（x+2）＞m+2 的解集是正数，求 m 的取值范围？
方法归纳：①表示解集；②将解集表示在数轴上，平移分析；③得参数的取值范围。

例 1、已知关于 x 的不等式 x-a ＞0，的整数解共 5 个，则 a 的取值范围是。

例 2、已知关于 x 的不等式组 的整数解共 5 个，则 a 的取值范围是。

解：化简不等式组，得
有解①，将其表在数轴上，②
如图 1，其整数解 5 个必为 x=1,0,-1,-2,-3。

由图 1 得：-4<a≤-3。

③
⎧- x + m > 0 练习、不等式组⎨ 2x + 5 > 1
；
的整数解只有-2 和-1，则 a ，b 的取值范围
⎩
⎨x > -2
⎩ ⎩
类型三、根据不等式组是否有解，及解的特殊情况；求参数取值范围。

方法归纳：1、表示解集；2、将解集表示在数轴上，平移分析；3、得参数的取值范
围。

⎧- x + m > 0
例 1、 不等式组⎨ 2x + 5 > 1 有解，则 m 的取值范围
；
解：化简不等式组，得⎧ x ＜m
有解①，将其表示在数轴上②，观察可知：m≤-2③
⎩
⎧x ＜m
练习 1、若不等式组⎨ x ＜5 的解集是 x ＜5，则 m 的取值范围
；
⎧
⎪ - x + m > 0
2、若不等式组⎨ 3 的解集是 x < -3 ，则 m 的取值范围是。

⎪⎩ 3x + 8 < -1 ⎧- x + 3 > 0
3、不等式组⎨ 2x + k ≥ 1 无解，则 k 的范围。

类型四、根据已知方程（组）的解的情况，求参数的取值范围(解的情况是突破口)
方法归纳：①表示方程（组）的解；②根据已知解的情况列出不等式；③解不等式；
例 1、已知关于 x 的方程 5x-2m=3x-6m+2 的解大于-5，求符合条件 m 的非负整数值？
解：解方程的 x=1-2m ，① ∵解大于-5，∴1-2m ＞-5，② 解得：m ＜3，(3)
∴符合条件 m 的非负整数值为：0，1，2。

⎧
例 2.已知方程组⎨ x + y=m 的解是非负数，求 m 取值范围的？
⎩5x + 3y=13
解：解方程组 得 ①
∵方程组 的解是非负数，∴ 即 ②
解不等式组 (3) ∴m 的取值范围为 ≤m≤ ,
⎩ ⎧2x + y=1+m
练习 1、已知方程组⎨ x + 2y=1-m 的解满足 x ＞y ，求 m 取值范围的？
⎧2x -3y=1+a
练习 2、已知方程组⎨ ⎩ x + 2y=a
的解满足 x+y ＞0，求 m 取值范围的？。