第九章 不等式与不等式知识点归纳
一、不等式及其解集和不等式的性质
用不等号表示大小关系的式子叫做不等式。

常见不等号有：“＜” “＞” “≤” “≥” “ ≠ ”。

含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集，解不等式就是求不等式的解集。

注：①在数轴上表示不等式解集时，有等号用实心点，无等号用空心圈。

②方向：大于向右画，小于向左画。

不等式的三个性质：①不等式两边同时加（或减）同一数或式子，不等号不变；
②不等式两边同时乘（或除）同一正数，不等号不变；
③不等式两边同时乘（或除）同一负数，不等号改变。

作差法比较a 与b 的大小：若a-b ＞0,则a ＞b ；若a-b ＜0；则a ＜b ；若a-b=0, 则a=b 。

例1 、下列式子中哪些是不等式？
①0a+b=b+a; ②a＜b －5; ③－3＞－5;④x≠1 ；⑤2x-3。

例2、若a<b ＜0，m ＜0,用不等号填空。

①a －b 0; ②a－5 b －5; ③－ －;④ ；⑤2a 2b 31+a 2
1+b 22___bm am ⑥ab 0；⑦a+m b+m ；⑧a² b²；⑨am bm 。

例3、①由，可得可得；②由，可得可得；a ax <1>x ____a a ax <1x ＜____a ③ 由，那么。

122-≥-≤-x m x mx 可得______m 例4、不等式的非负整数解是__________________。

x x 228)2(5-≤+二、一元一次不等式及其实际问题
一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式（即分母中不含未知数），这样的不等式叫做一元一次不等式。

解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（两边每一项同乘分母的最小公倍数）
（2）去括号（括号里每一项都要乘括号前面的系数）（3）移项（变号后移项）
（4）合并同类项（5）将x 项系数化为1（系数为负数要变号）。

一元一次不等式与实际问题（审设列解验答）
常见表示不等关系的关键词：①不超过，不多于，至多，最多（≤）；②不少于，不少于，至少，最少（≥）③之前，少于，低于（＜）；④超过，多于，大于（＞）。

（1）审（找表示不等关系的关键词）; （2）设（把问题中的“至多、至少” 去掉）
（3）列;（4）解；（5）验（实际问题是否需要求整数解）；（6）答（加上“至多、至少”作答）。

三、不等式组及其解集，与实际问题
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

不等式组中，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。

一元一次不等式组与实际问题（审设列解验答）
（1）审（找表示不等关系的关键词和题中涉及的两个未知量）; （2）设（设其中一个
未知量，另一个用设的未知数表示）（3）列;（4）解；（5）验（实际问题是否需要求整数解）；（6）答(方案问题要描述清楚)。

一元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例）
类型（设a>b ） 不等式组的解集数轴表示
1.（同大型，同大取大） x>a
2.（同小型，同小取小） x<b
3.（一大一小型，小大之间） b<x<a
4.（比大的大，比小的小空集） 无解
特殊：专题 解决含参数的一元一次不等式（组）
类型一、根据已知不等式（组）的解集，求参数的值(解集是突破口)
方法归纳：①表示解集；②根据已知解集的情况列出方程（组）；③解方程（组）例1、若不等式的解集为，求k 值。

解：化简不等式，得x≤5k ①，比较已知解集，得②，∴③。

例2、若不等式组的解集是-1<x<1，求(a+1)(b-1)的值？
解：化简不等式组，得 ① ∵ 它的解集是-1<x<1， ∴ 也为其解集，比较得　
② ∴(a+1)(b-
1)=-6. ③x 3x 3x 3x 3x 3x 3x 3x 3
≥≥⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨≤≤⎩⎩⎩⎩＞＞无解，无解无解有解＜＜；；；
练习、不等式组的解集为：，则。

⎩⎨⎧≥+->+a
x b x 530231≤<-x _____________,==b a 类型二、根据已知不等式（组）的特殊解集，求参数的取值范围(解集是突破口)方法归纳：①表示解集；②根据已知解集的情况列出不等式；③解不等式例1、若关于x 的不等式3x-a ＞4（x-1）的解集是负数，求a 的取值范围？
解：化简不等式得：x ＜4-a ①，∵ 它的解集是负数，∴只要4-a ≤0均可满足②∴a≥4③练习、若关于x 的不等式-3（x+2）＞m+2的解集是正数，求m 的取值范围？方法归纳：①表示解集；②将解集表示在数轴上，平移分析；③得参数的取值范围。

例1、已知关于x 的不等式x-a ＞0，的整数解共5个，则a 的取值范围是________。

例2、已知关于x 的不等式组
的整数解共5个，则a 的取值范围是
________。

解：化简不等式组，得有解①，将其表在数轴上，②
如图1，其整数解5个必为x=1,0,-1,-2,-3。

由图1得：-4<a≤-3。

③
练习、不等式组的整数解只有-2和-1，则a ，b 的取值范围
⎩⎨⎧>+>+-1
520x m x __________________；
类型三、根据不等式组是否有解，及解的特殊情况；求参数取值范围。

方法归纳：1、表示解集；2、将解集表示在数轴上，平移分析；3、得参数的取值范围。

例1、不等式组有解，则m 的取值范围______；⎩
⎨⎧>+>+-1520x m x 解：化简不等式组，得有解①，将其表示在数轴上②，观察可知：m≤-2③
-2
x m x ⎧⎨>⎩＜练习1、若不等式组的解集是x ＜5，则m 的取值范围______；5x m x ⎧⎨⎩
＜＜2、若不等式组的解集是，则m 的取值范围是_______________。

⎪⎩⎪⎨⎧-<+>+-1
8303x m x 3-<x 3、不等式组无解，则k 的范围__________。

⎩
⎨⎧≥+>+-1203k x x 类型四、根据已知方程（组）的解的情况，求参数的取值范围(解的情况是突破口)方法归纳：①表示方程（组）的解；②根据已知解的情况列出不等式；③解不等式；例1、已知关于x 的方程5x-2m=3x-6m+2的解大于-5，求符合条件m 的非负整数值？解：解方程的x=1-2m ，① ∵解大于-5，∴1-2m ＞-5，② 解得：m ＜3，(3)
∴符合条件m 的非负整数值为：0，1，2。

例2.已知方程组的解是非负数，求m 取值范围的？
y=m 53y=13
x x +⎧⎨+⎩解：解方程组得①　∵方程组的解是非负数，∴ 即 ②　解不等式组　(3)　∴m 的取值范围为≤m≤,
练习1、已知方程组的解满足x ＞y ，求m 取值范围的？
2y=1+m 2y=1-m
x x +⎧⎨+⎩练习2、已知方程组的解满足x+y ＞0，求m 取值范围的？
2-3y=1+a 2y=a
x x ⎧⎨+⎩。