2018-2019学年四川省成都市新都区高一（下）期末数学试卷一、选择题（每题5分）1．sin15°的值为（）A．B． C．D．2．设x、y∈R+，且x≠y，a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＞b＞c C．b＜a＜c D．b＜c＜a3．如图为某四面体的三视图（都是直角三角形），则此四面体的表面三角形为直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．空间三条不同直线l，m，n和三个不同平面α，β，γ，给出下列命题：①若m⊥l且n⊥l，则m∥n；②若m∥l且n∥l，则m∥n；③若m∥α且n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n；⑤若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；⑥若α∥γ，β∥γ，则α∥β；⑦若α⊥l ，β⊥l ，则α∥β． 其中正确的个数为（ ） A ．6B ．5C ．4D ．35．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列关系式正确的是（ ） A ．a=bsinC+csinB B ．a=bcosC+ccosB C ．a=bcosB+ccosC D ．a=bsinB+csinC 6．函数f （x ）=asinx+cosx 关于直线x=对称，则a 的取值集合为（ ）A ．{1}B ．{﹣1，1}C ．{﹣1}D ．{0}7．等差数列{a n }和等比数列{b n }中，给出下列各式：①a 7=a 3+a 4；②a 2+a 6+a 9=a 3+a 4+a 10；③b 7b 9=b 3b 5b 8；④b 62=b 2b 9b 13．其中一定正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =n 2a n 且a 1=2，则（ ）A ．a n =B ．a n =C ．a n =D ．a n =9．给出下列命题：①若a 2＞b 2，则|a|＞b ；②若|a|＞b ，则a 2＞b 2； ③若a ＞|b|，则a 2＞b 2；④若a 2＞b 2，则a ＞|b|． 其中一定正确的命题为（ ）A ．②④B ．①③C ．①②D ．③④ 10．对任意非零向量：，，．则（ ）A ．（•）•=•（•）B ． •=•，则=C ．|•|=||•||D ．若|+|=|﹣|，则•=011．若sin α，sin2α，sin4α成等比数列，则cos α的值为（ ）A．1 B．0 C．﹣D．﹣或112．点O、I、H、G分别为△ABC（非直角三角形）的外心、内心、垂心和重心，给出下列关系式①=；②sin2A•+sin2B•+sin2C•=；③a+b+c=；④tanA•+tanB•+tanC•=．其中一定正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分）13．等差数列{an }的前n项和为Sn，若S9=81，ak﹣4=191，Sk=10000，则k的值为________．14．三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠APC=∠CPB=40°，PA=5，PB=6，PC=7，点D、E分别在棱PB、PC上运动，则△ADE周长的最小值为________．15．若平面向量满足|2|≤3，则的最小值是________．16．已知函数f（x）=sin6x+cos6x，给出下列4个结论：①f（x）的值域为[0，2]；②f（x）的最小正周期为；③f（x）的图象对称轴方程为x=（k∈Z）；④f（x）的图象对称中心为（，）（k∈Z）其中正确结论的序号是________（写出全部正确结论的序号）三、解答题17．若对任意实数x，不等式x2﹣mx+（m﹣1）≥0恒成立（1）求实数m的取值集合；（2）设a，b是正实数，且n=（a+）（mb+），求n的最小值．18．如图，四边形ABCD中，若∠DAB=60°，∠ABC=30°，∠BCD=120°，AD=2，AB=5．（1）求BD的长；（2）求△ABD的外接圆半径R；（3）求AC的长．19．△ABC中，a=4，b=5，C=，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，点D在边AB上，且=．（1）用和表示；（2）求|CD|．20．四面体ABCD中，已知AB⊥面BCD，且∠BCD=，AB=3，BC=4，CD=5．（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；（2）求此四面体ABCD的体积和表面积；（3）求此四面体ABCD的外接球半径和内切球半径．21．△ABC中（非直角三角形），角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；（2）若tanA：tanB：tanC=6：（﹣2）：（﹣3），求a：b：c．22．在等比数列{an }的前n项和为Sn，Sn=2n+r（r为常数），记bn=1+log2an．（1）求r的值；（2）求数列{an bn}的前n项和Tn；（3）记数列{}的前n项和为Pn ，若对任意正整数n，都有P2n+1+≤k+Pn，求实数k的最小值．2018-2019学年四川省成都市新都区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．sin15°的值为（）A．B． C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用两角差的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=﹣=，故选：C．2．设x、y∈R+，且x≠y，a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＞b＞c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】不等式的基本性质．【分析】直接根据基本不等式即可判断．【解答】解：x、y∈R+，且x≠y，∴＞，＜=，∴a＞b＞c，故选：B．3．如图为某四面体的三视图（都是直角三角形），则此四面体的表面三角形为直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图的几何体的结构特征，利用直线平面的垂直判断即可．【解答】解：根据三视图得出几何体为三棱锥，AB⊥面BCD，BC⊥CD，∴AB⊥BC，AB⊥AD．CD⊥面ABC，CD⊥AC，RT△ABC，RT△ABD，RT△DBC，RT△ADC，共有4个，故选：D4．空间三条不同直线l，m，n和三个不同平面α，β，γ，给出下列命题：①若m⊥l且n⊥l，则m∥n；②若m∥l且n∥l，则m∥n；③若m∥α且n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n；⑤若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；⑥若α∥γ，β∥γ，则α∥β；⑦若α⊥l，β⊥l，则α∥β．其中正确的个数为（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间直线与直线，线面平行和面面平行的判定定理和性质定理分别分析解答．【解答】解：①若m⊥l且n⊥l，则m与n可能平行、相交或者异面；故①错误；②若m∥l且n∥l，根据平行公理得到m∥n；②正确；③若m∥α且n∥α，则m∥n或者相交或者异面；故③错误；④若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到m∥n；故④正确；⑤若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或者相交；故⑤错误；⑥若α∥γ，β∥γ，则α∥β；正确⑦若α⊥l，β⊥l，根据线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得到α∥β．故⑦正确；所以正确的有四个；故选C．5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列关系式正确的是（）A．a=bsinC+csinB B．a=bcosC+ccosBC．a=bcosB+ccosC D．a=bsinB+csinC【考点】正弦定理．【分析】利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得sinA=sinBcosC+cosBsinC，利用正弦定理即可得解B正确．【解答】解：∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴由正弦定理可得：a=bcosC+ccosB，故选：B．6．函数f（x）=asinx+cosx关于直线x=对称，则a的取值集合为（）A．{1} B．{﹣1，1} C．{﹣1} D．{0}【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由题意f（x）=sin（x+θ），其中tanθ=，再根据f（x）的图象关于直线x=对称，求得a的值．【解答】解：由题意，f（x）=asinx+cosx=sin（x+θ），其中tanθ=，∵其图象关于直线x=对称，∴θ+=kπ+，k∈z，∴θ=kπ+，k∈z，∴tanθ==1，∴a=1，故选：A．7．等差数列{an }和等比数列{bn}中，给出下列各式：①a 7=a 3+a 4；②a 2+a 6+a 9=a 3+a 4+a 10；③b 7b 9=b 3b 5b 8；④b 62=b 2b 9b 13．其中一定正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n }的公差是d ，等比数列{b n }的公比是q ，根据等差数列的通项公式判断①②，根据等比数列的通项公式判断③④．【解答】解：设等差数列{a n }的公差是d ，等比数列{b n }的公比是q ，①、因为a 7=a 1+6d ，a 3+44=2a 1+5d ，所以只有当a 1=d 时a 3+a 4成立，①不正确； ②、因为a 2+a 6+a 9=3a 1+14d ，a 3+a 4+a 10=3a 1+14d ，所以a 2+a 6+a 9=a 3+a 4+a 10，②正确；③、因为b 7b 9=（b 1q 6）（b 1q 8）=，b 3b 5b 8=，所以当b 1=q 时b 7b 9=b 3b 5b 8成立，③不正确；④、因为b 62=，b 2b 9b 13=，所以当=1时b 62=b 2b 9b 13，④不正确，所以一定正确的个数是1， 故选A ．8．数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =n 2a n 且a 1=2，则（ ）A ．a n =B ．a n =C ．a n =D ．a n =【考点】数列递推式．【分析】由题意和当n ≥2时a n =S n ﹣S n ﹣1化简已知的等式，得到数列的递推公式，利用累积法求出a n ．【解答】解：由题意得，S n =n 2a n ，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2a n ﹣[（n ﹣1）2a n ﹣1]， 化简得，，则，，，…，以上n﹣1个式子相乘得， =，又a1=2，则an=，故选：A．9．给出下列命题：①若a2＞b2，则|a|＞b；②若|a|＞b，则a2＞b2；③若a＞|b|，则a2＞b2；④若a2＞b2，则a＞|b|．其中一定正确的命题为（）A．②④B．①③C．①②D．③④【考点】不等式的基本性质．【分析】利用不等式的性质可得①③正确，举反例可以判断②④错误．【解答】解：对于①a2＞b2⇔|a|2＞|b|2⇔|a|＞|b|，故正确，对于②若a=1，b=﹣2，虽然满足若|a|＞b，但a2＞b2不成立，故不正确，对于③a＞|b|⇌a2＞|b|2，则a2＞b2，故正确，对于④，若a=﹣2，b=1，虽然满足a2＞b2，但是a＞|b|不成立，故不正确，故其中一定正确的命题为①③，故选：B10．对任意非零向量：，，．则（）A．（•）•=•（•）B．•=•，则=C．|•|=||•|| D．若|+|=|﹣|，则•=0【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的公式分别进行判断即可．【解答】解：A．（•）•=||•||cos＜，＞•与共线，•（•）=•||•||cos，＞与共线，则（•）•=•（•）不一定成立，故A错误，B．由•=•，得•（﹣）=0，则⊥（﹣），无法得到=，故B错误，C.• =| |•| |cos＜，＞=||•||不一定成立，故C错误，D．若|+|=|﹣|，则平方得||2+|||2+2•=|||2+||2﹣2•，即4•=0，即•=0成立，故D正确故选：D11．若sinα，sin2α，sin4α成等比数列，则cosα的值为（）A．1 B．0 C．﹣D．﹣或1【考点】三角函数中的恒等变换应用；等比数列的通项公式．【分析】由等比中项的性质列出方程，由二倍角的正弦公式、sin2α≠0、sinα≠0化简，由二倍角的余弦公式变形列出方程求解，结合条件求出cosα的值．【解答】解：∵sinα，sin2α，sin4α成等比数列，∴（sin2α）2=sinα•sin4α，则（sin2α）2=sinα•2sin2αcos2α，又sin2α≠0，∴sin2α=sinα•2cos2α，2sinαcosα=sinα•2cos2α，又sinα≠0，cosα=cos2α，即2cos2α﹣cosα﹣1=0，解得cosα=或1，当cosα=1时，sinα=0，舍去，∴cosα的值是，故选C．12．点O、I、H、G分别为△ABC（非直角三角形）的外心、内心、垂心和重心，给出下列关系式①=；②sin2A•+sin2B•+sin2C•=；③a+b+c=；④tanA•+tanB•+tanC•=．其中一定正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】三角形五心．【分析】根据三角形（非直角三角形）的外心、内心、垂心和重心的向量表示与运算性质，对选项中的命题逐一进行分析、判断正误即可．【解答】解：对于①，点G是△ABC的重心，如图①所示，所以==×（+）=（+），同理=（+），=（+），∴++=（+++++）=，所以=，命题正确；对于②，点O是△ABC的外心，如图②所示，OA=OB=OC，所以S△BOC：S△AOC：S△AOB═sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin2A：sin2B：sin2C，所以sin2A•+sin2B•+sin2C•=，命题正确；对于③，点I是△ABC的内心，如图所示，所以S△BIC：S△AIC：S△AIB=a：b：c，所以a+b+c=，命题正确；对于④，点H是△ABC（非直角三角形）的垂心，如图所示，所以S△BHC：S△AHC：S△ANB=tanA：tanB：tanC，所以tanA•+tanB•+tanC•=，命题正确．综上，以上正确的命题有4个．故选：D．二、填空题（每题5分）13．等差数列{an }的前n项和为Sn，若S9=81，ak﹣4=191，Sk=10000，则k的值为100．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由S9==81，求出a5=9，再求出a1+ak=a5+ak﹣4=9+191=200，由此利用Sk=10000，能求出k．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，S9=81，ak﹣4=191，Sk=10000，∴S9==81，解得a5=9，∴a1+ak=a5+ak﹣4=9+191=200，Sk==100k=10000，解得k=100．故答案为：100．14．三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠APC=∠CPB=40°，PA=5，PB=6，PC=7，点D、E分别在棱PB、PC上运动，则△ADE周长的最小值为5．【考点】棱锥的结构特征．【分析】把已知三棱锥沿棱PA将三棱锥侧面剪开并展开，可得展开图如图，再由余弦定理求得答案．【解答】解：如图，沿棱PA将三棱锥侧面剪开并展开，可得展开图如图，此时|PA|=|PA′|=5，且角APA′=120°，∴△ADE周长的最小值为|AA′|=．故答案为：．15．若平面向量满足|2|≤3，则的最小值是﹣．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算．【分析】由平面向量满足|2|≤3，知，故≥=4||||≥﹣4，由此能求出的最小值．【解答】解：∵平面向量满足|2|≤3，∴，∴≥=4||||≥﹣4，∴，∴，故的最小值是﹣．故答案为：﹣．16．已知函数f（x）=sin6x+cos6x，给出下列4个结论：①f（x）的值域为[0，2]；②f（x）的最小正周期为；③f（x）的图象对称轴方程为x=（k∈Z）；④f（x）的图象对称中心为（，）（k∈Z）其中正确结论的序号是②③④（写出全部正确结论的序号）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用公式a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）化简y=sin6x+cos6x，再由二倍角公式化简解析式，根据余弦函数的值域判断①；由三角函数的周期公式判断②；由余弦函数的对称轴方程和整体思想，求出f（x）的对称轴判断③；由余弦函数的对称中心和整体思想，求出f（x）的对称对称中心判断④．【解答】解：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x﹣sin2xcos2x+cos4x）=1•（sin2x+cos2x）2﹣3sin2xcos2x=1﹣sin22x=+cos4x，①、因为﹣1≤cos4x≤1，所以f（x）的值域为[，1]，①不正确；②、由T==得，f（x）的最小正周期为，②正确；③、由4x=kπ（k∈Z）得，f（x）图象的对称轴方程是，③正确；④、由得，，则f（x）的图象对称中心为（，）（k∈Z），④正确，综上可得，正确的命题是②③④，故答案为：②③④．三、解答题17．若对任意实数x，不等式x2﹣mx+（m﹣1）≥0恒成立（1）求实数m的取值集合；（2）设a，b是正实数，且n=（a+）（mb+），求n的最小值．【考点】二次函数的性质；基本不等式．【分析】（1）根据二次函数的性质求出m的值即可；（2）根据基本不等式的性质求出n的最小值即可．【解答】解：（1）∵x2﹣mx+（m﹣1）≥0在R恒成立，∴△=m2﹣4（m﹣1）≤0，解得：m=2，故m∈{2}；（2）∵m=2，a，b是正实数，∴n=（a+）（mb+）=（a+）（2b+）=2ab++≥2+=，故n的最小值是．18．如图，四边形ABCD中，若∠DAB=60°，∠ABC=30°，∠BCD=120°，AD=2，AB=5．（1）求BD的长；（2）求△ABD的外接圆半径R；（3）求AC的长．【考点】解三角形．【分析】由题意可得，四边形ABCD为圆内接四边形．（1）直接运用余弦定理求得BD的长；（2）由正弦定理求得△ABD的外接圆半径R；（3）在△ABC中，由正弦定理得AC的长．【解答】解：如图，由∠DAB=60°，∠BCD=120°，可知四边形ABCD为圆内接四边形，（1）在△ABD中，由∠DAB=60°，AD=2，AB=5，利用余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠DAB=．∴；（2）由正弦定理得：，则△ABD的外接圆半径R=；（3）在△ABC中，由正弦定理得：，∴AC=．19．△ABC中，a=4，b=5，C=，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，点D在边AB上，且=．（1）用和表示；（2）求|CD|．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【分析】（1）根据向量基本定理即可用和表示；（2）根据向量数量积与向量长度之间的关系转化为向量数量积进行计算即可求|CD|．【解答】解：（1）∵=，∴=，即=，则=+=+=+（﹣）=+．（2）∵a=4，b=5，C=，∴•=||||cos120°=4×=﹣10．∵=+．∴2=（+）2=2+2×ו+2=×25+2×ו（﹣10）+×16=，则|CD|==．20．四面体ABCD中，已知AB⊥面BCD，且∠BCD=，AB=3，BC=4，CD=5．（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；（2）求此四面体ABCD的体积和表面积；（3）求此四面体ABCD的外接球半径和内切球半径．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．【分析】（1）证明CD⊥平面ABC，即可证明：平面ABC⊥平面ACD；（2）利用体积、面积公式求出此四面体ABCD的体积和表面积；（3）此四面体ABCD的外接球的球心是AD的中点，即可求此四面体ABCD的外接球半径．利用等体积求出内切球半径．【解答】（1）证明：∵AB⊥面BCD，CD⊂面BCD，∴AB⊥CD，∵∠BCD=，∴CD⊥BC，∵AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，∵CD⊂平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD；（2）解：此四面体ABCD的体积V==10表面积S==；（3）解：此四面体ABCD的外接球的球心是AD的中点，半径为=设内切球半径为r，则（）r=10，∴r=．21．△ABC中（非直角三角形），角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；（2）若tanA：tanB：tanC=6：（﹣2）：（﹣3），求a：b：c．【考点】三角函数的化简求值；正弦定理．【分析】（1）利用三角形的内角和定理以及由题意可得各个正切有意义，由两角和的正切公式变形可得tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB），整体代入式子坐标由诱导公式化简可得；（2）结合（1）的结论设比例系数为k，求出k，得到tanA、tanB、tanC，利用三角函数的基本公式求出sinA，sinB，sinC，结合正弦定理求a：b：c．【解答】（1）证明：∵△ABC不是直角三角形，∴A、B、C均不为直角，且A+B+C=π，任意两角和不为，由两角和的正切公式可得tan（A+B）=，∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=tan（π﹣C）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）∴tanA+tanB+tanC=﹣tanC（1﹣tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC；（2）由tanA：tanB：tanC=6：（﹣2）：（﹣3），设tanA=6k，tanB=﹣2k，tanC=﹣3k，代入（1）得到k=36k3，因为△ABC非直角三角形，并且最多一个钝角，所以k=﹣，即tanA=﹣1，tanB=，tanC=，所以A=135°，sinB=，sinC=，所以a：b：c=sinA：sinB：sinC==5：：2．22．在等比数列{an }的前n项和为Sn，Sn=2n+r（r为常数），记bn=1+log2an．（1）求r的值；（2）求数列{an bn}的前n项和Tn；（3）记数列{}的前n项和为Pn ，若对任意正整数n，都有P2n+1+≤k+Pn，求实数k的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a1=S1，an=Sn﹣Sn﹣1，可得数列{an}的通项，即可得到r=﹣1；（2）bn =n，anbn=n•2n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，化简整理，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和；（3）化简P2n+1+≤k+Pn，即为1+++…++…++≤k+1+++…+，化为k≥++…+，可设f（n）=++…+，作差f（n+1）﹣f（n），判断单调性，可得最大值为f（1），即可得到k的最小值．【解答】解：（1）等比数列{an }的前n项和为Sn，Sn=2n+r，可得a1=S1=2+r；an =Sn﹣Sn﹣1=2n+r﹣（2n﹣1+r）=2n﹣1，上式对n=1也成立，即有2+r=1，解得r=﹣1．（2）bn =1+log2an=1+log22n﹣1=1+n﹣1=n，数列{an bn}的前n项和Tn=1•20+2•2+3•22+…+n•2n﹣1，2Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，两式相减可得，﹣Tn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n，化简可得，Tn=（n﹣1）•2n+1；（3）数列{}的前n项和为Pn=1+++…+，P2n+1+≤k+Pn，即为1+++…++…++≤k+1+++…+，化为k≥++…+，可设f（n）=++…+，f（n+1）﹣f（n）=+…+++﹣（++…+）=+﹣=﹣＜0，即有f（n）在自然数集上递减，可得f（1）取得最大值，且为1++=．则k≥．即实数k的最小值为．。