（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．
试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．
x= 有一个解；
②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，
△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0
方程有两不等根
综合①②得不论k为何值，方程总有实根
（2）∵x ₁＋x ₂＝ ,x ₁ x ₂=
∴S= + + x1+x2
=
=
=
=
=2k-2=2，
解得k=2，
∴当k=2时，S的值为2
10．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．
【答案】（1）证明见解析；（2）x1=﹣1+ ，x2=﹣1﹣ 或
【解析】
试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；
（2）由题意得：
解之得： ，
经检验， ， 均符合题意
答： 的值为2或7.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.
8．已知:如图，在 中， ， cm， cm.直线 从 点出发，以2 cm/s的速度向点 方向运动，并始终与 平行，与线段 交于点 .同时，点 从 点出发，以1cm/s的速度沿 向点 运动，设运动时间为 (s) ( ) .
【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2） 的值为2或7.
【解析】
【分析】
（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.
【详解】
（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为 元/千克, 元/千克.
由题得：
解之得：
答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克
（1）若此方程有两个实数根，求没 的最小整数值；
（2）若此方程的两个实数根为 ， ，且满足 ，求 的值.
【答案】（1）-4；（2）m=3
【解析】
【分析】
（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到 ， ，然后解关于m的一元二次方程，即可确定m的值．
综上所述：此三角形的周长为13或17．
点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．
6．解方程：x2－2x＝2x＋1.
【答案】x1＝2－ ，x2＝2＋ .
【解析】
试题分析：根据方程，求出系数a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式 求解即可.
5．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.
(1)不解方程，判断方程的根的情况；
(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2
【答案】(1)有两个不相等的实数根（2）周长为13或17
【解析】
试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
∴S的值能为2，此时k的值为2．
考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．
3．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，
（1）若x12+x22=6，求m值；
（2）令T= ，求T的取值范围．
【答案】（1）m= ；（2）0＜T≤4且T≠2．
答：m的值是20．
点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．
2．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S= + + x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．
【解析】
【详解】
解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．
由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．
由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．
试题解析：方程化为x2－4x－1＝0.
∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，
∴x＝ ＝2± ，
∴x1＝2－ ，x2＝2＋ .
7．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.
【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．
【解析】
试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．
（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）
将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．
当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；
当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．
【答案】（1）120；（2）20．
【解析】
试题分析：（1）本题介绍两种解法：
解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；
解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；
（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+ m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣ m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了 m%”列方程解出即可．
∴△＞0，
则方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x1•x2= =﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，
∴x1，x2异号，
又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，
若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，
∴m﹣3=﹣2，即m=1，
(1)当 为何值时，四边形 是矩形?
(2)当 面积是 的面积的5倍时，求出 的值;
【答案】（1） ；（2） 。
【解析】
【分析】
（1）首先根据勾股定理计算AB的长，再根据相似比例表示PE的长度，再结合矩形的性质即可求得t的值.
（2）根据面积相等列出方程，求解即可.
【详解】
解：（1）在 中， ，
，当 时，四边形PECF是矩形，
【详解】
解：（1）∵ 有两个实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴m的最小整数值为： ；（2）由根与系Fra bibliotek的关系得： ， ，
由 得：
∴ ，
解得： 或 ；
∵ ，
∴ .
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则 ， ．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.
【详解】
∵方程由两个不相等的实数根，
所以△=[2（m﹣2）]2﹣4（m2﹣3m+3）
=﹣4m+4＞0，
所以m＜1，又∵m是不小于﹣1的实数，
∴﹣1≤m＜1
∴x1+x2=﹣2（m﹣2）=4﹣2m，x1•x2=m2﹣3m+3；
（1）∵x12+x22=6，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6，
即（4﹣2m）2﹣2（m2﹣3m+3）=6
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．