13. 14 3n－1 解析：∵第(1)个图形中正方 形的个数2＝3×1－1， 第(2)个图形中正方形的个数5＝3×2－1， 第(3)个图形中正方形的个数8＝3×3－1，
…… ∴第(5)个图形中正方形的个数为3×5－1＝ 14(个)，第n个图形中正方形的个数为(3n－1)， 故答案为14，3n－1.
A. 2n＋1 B. 3n－2 C. 3n＋1 D. 4n
8. B 解析：由题意可知， 第1个图形中有1个菱形， 第2个图形中有1＋3＝4(个)菱形， 第3个图形中有1＋3＋3＝1＋3×2＝7(个)菱 形，
…， 第n个图形中有：1＋3(n－1)＝(3n－2)个菱形， 故选B.
9. 下列图形都是由同样大小的▲按一定规律 组成的，其中第1个图形中一共有6个▲：第2 个图形中一共有9个▲；第3个图形中一共有 12个▲；…按此规律排列，则第2 019个图形 中▲的个数为( )
三、解答题
26. 如图，Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB ＝90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的 直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E ＝30°，∠DCE＝90°，再用同样的方法作 Rt△FGC，∠FCG＝90°，继续用同样的方 法作Rt△HIC，∠HCI＝90°.若AC＝a，求CI 的长．
19. 如图，由一些点组成形如正多边形的图案， 按照这样的规律摆下去，则第n(n＞0)个图案 需要点的个数是________．
19. n2＋2n 解析：第1个图形是2×3－3，第2 个图形是3×4－4， 第3个图形是4×5－5，按照这样的规律摆下去， 则第n个图形需要点的个数是(n＋1)(n＋2)－(n ＋2)＝n2＋2n， 故答案为n2＋2n.
… 第n个图形中三角形的个数是1＋4(n－1)＝4n－ 3， 当n＝2 017时，4n－3＝8 065， 故答案为8 065.
21. 将一张长方形的纸对折，如图次的折痕保持平行，连续对折 三次后，可以得到7条折痕，折一折，数一数， 连 续 对 折 四 次 后 ， 可 以 得 到 ________ 条 折 痕．
23. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接 到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右 →向下→向右”的方向依次不断移动，每次移 动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一 次移动到点A1，第二次移动到点A2，……， 第 n 次 移 动 到 点 An ， 则 点 A2 019 的 坐 标 是 ________．
20. 观察下列图形，第1个图形中有1个三角形； 第2个图形中有5个三角形；第3个图形中有9 个 三 角 形 ； …… ； 则 第 2 017 个 图 形 中 有 ________个三角形．
20. 8 065 解析：第1个图形中一共有1个三角 形，
第2个图形中一共有1＋4＝5(个)三角形， 第3个图形中一共有1＋4＋4＝9(个)三角形，
17. 每一层三角形的个数与层数的关系如图所 示，则第2 018层的三角形个数为________．
17. 4 035 解析：由图可得， 第1层三角形的个数为1， 第2层三角形的个数为3， 第3层三角形的个数为5， 第4层三角形的个数为7， 第5层三角形的个数为9，
…… 第n层的三角形的个数为2n－1， ∴当n＝2 018时，三角形的个数为2×2018 －1＝4 035， 故答案为4 035.
…… 则第n个“T”字形需要的棋子个数为(2n＋1)＋(n ＋1)＝3n＋2， 故答案为3n＋2.
12. 如图，每一图中有若干个大小不同的菱形， 第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形， 第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2 019个菱形，则n＝________．
12. 1 010 解析：根据题意分析可得：第1幅 图中有1个． 第2幅图中有2×2－1＝3(个). 第3幅图中有2×3－1＝5(个). 第4幅图中有2×4－1＝7(个).
10. 杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育 家，如图是杨辉在公元1261年著作《详解九章 算法》里面的一张图，即“杨辉三角”．请仔细 观察计算该图中第n行中所有数字之和为( )
A. 2n－2 B. 2n－1 C. 2n D. 2n＋1
10. B 解析：∵第1行数字之和1＝20， 第2行数字之和2＝21， 第3行数字之和4＝22， 第4行数字之和8＝23，… ∴第n行中所有数字之和为2n－1. 故选B.
故选B.
7. 如图，小正方形是按一定规律摆放的，下 面四个选项中的图片，适合填补图中空白处 的是( )
7. D 解析：由题意知，原图形中各行、各 列中点数之和为10，符合此要求的只有
故选D.
8. 如图，是用形状、大小完全相同的小菱形 组成的图案，第1个图形中有1个小菱形，第2 个图形中有4个小菱形，第3个图形中有7个小 菱形，……，按照此规律，第n个图形中小菱 形的个数用含有n的式子表示为( )
二、填空题
11. 归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图 所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去， 摆 成 第 n 个 “T” 字 形 需 要 的 棋 子 个 数 为 ________．
11. 3n＋2 解析：由图可得， 图①中棋子的个数为：3＋2＝5， 图②中棋子的个数为：5＋3＝8， 图③中棋子的个数为：7＋4＝11，
A. 2 022 B. 4 040 C. 6 058 D. 6 060
9. D 解析：观察图形得： 第1个图形有3＋3×1＝6(个)三角形， 第2个图形有3＋3×2＝9(个)三角形， 第3个图形有3＋3×3＝12(个)三角形，
… 第n个图形有3＋3n＝3(n＋1)个三角形， 当n＝2 019时，3×(2 019＋1)＝6 060， 故选D.
…… 可以发现，每个图形都比前一个图形多2个． 故第n幅图中共有(2n－1)个． 当图中有2 019个菱形时， 2n－1＝2 019，n＝1 010， 故答案为1 010.
13. 如图，下列图案是由火柴棒按某种规律搭 成的，第(1)个图案中有2个正方形，第(2)个 图案中有5个正方形，第(3)个图案中有8个正 方形，……，则第(5)个图案中有________个 正方形，第n个图案中有________个正方形．
2. 观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73 ＝343，74＝2 401，75＝16 807，…，根据其 中的规律可得70＋71＋72＋…＋72 019的结果的 个位数字是( )
A. 0
B. 1
C. 7 D. 8
2. A 解析：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝ 343，74＝2 401，75＝16 807，…，∴个位数4 个数一循环，
6. 按照一定规律排列的n个数：－2，4，－8，
16，－32，64，…，若最后三个数的和为768，
则n为( )
A. 9
B. 10 C. 11 D. 12
6. B 解析：由题意，得第n个数为(－2)n， 那么(－2)n－2＋(－2)n－1＋(－2)n＝768， 当n为偶数：整理得3×2n－2＝768，解得n＝ 10； 当n为奇数：整理得－3×2n－2＝768，则求不 出整数．
∴(2 019＋1)÷4＝505，∴1＋7＋9＋3＝20， ∴70＋71＋72＋…＋72 019的结果的个位数字是0. 故选A.
3. 观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24
－2；2＋22＋23＋24＝25－2；…；已知按一
定规律排列的一组数：250，251，252，…，
299，2100.若250＝a，用含a的式子表示这组数
题型2 规律问题
一、选择题
1. 按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7， －x9，x11，…，第n个单项式是( ) A. (－1)n－1x2n－1 B. (－1)nx2n－1 C. (－1)n－1x2n＋1 D. (－1)nx2n＋1
1. C 解析：∵x3＝(－1)1－1x2×1＋1，－x5＝(－ 1)2－1x2×2＋1， x7＝(－1)3－1x2×3＋1，－x9＝(－1)4－1x2×4＋1， x11＝(－1)5－1x2×5＋1，…… 由上可知，第n个单项式是(－1)n－1x2n＋1， 故选C.
… ∴第n个图形共有2＋n×(n＋1)＝n2＋n＋2. 故答案为n2＋n＋2.
16. 将一些圆按照如图方式摆放，从上向下有 无数行，其中第一行有2个圆，第二行有4个 圆，第三行有6个圆，……，按此规律排列下 去，则前50行共有圆________个．
16. 2 550 解析：∵第一行有2个圆，第二行 有4个圆， 第三行有6个圆，… ∴第n行有2n个圆， ∴前50行共有圆：2＋4＋6＋8＋…＋2×50＝2 ＋4＋6＋8＋…＋100＝2 550(个)， 故答案为2 550.
的和是( )
A. 2a2－2a
B. 2a2－2a－2
C. 2a2－a
D. 2a2＋a
3. C 解析：∵2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24 －2； 2＋22＋23＋24＝25－2；… ∴2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1－2， ∴250＋251＋252＋…＋299＋2100 ＝(2＋22＋23＋…＋2100)－(2＋22＋23＋…＋249) ＝(2101－2)－(250－2)＝2101－250， ∵250＝a，∴2101＝(250)2·2＝2a2，∴原式＝2a2 －a. 故选C.
若按小明或小慧的两种方法各粘贴n张，所得 的 长 方 形 长 AB 为 ________cm ， A1B1 为 ________cm(用含n的代数式表示).
22. 24n＋6 6n＋4 解析：(1)粘合n张白纸 条，则AB＝30n－6(n－1)＝(24n＋6)cm， A1B1＝10n－4(n－1)＝(6n＋4)cm. 故答案为24n＋6；6n＋4.
21. 15 解析：由图可知，第1次对折，把纸 分成2部分，1条折痕， 第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕， 第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕， 第4次对折，把纸分成16部分，15条折痕