学科教师辅导讲义学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师：授课类型 T 反比例函数 C 反比例函数的应用 T 反比例函数综合应用授课日期及时段教学内容一、同步知识梳理知识点1：反比例函数的概念一般的，形如y=x k（k 不等于零的常数）的函数叫反比例函数。
反比例函数的解析式又可以写成：1,kxy k y kx x-===（ k 是不等于零的常数）, 知识点2：反比例函数的图象及性质（1）反比例函数的图象是两支曲线，且这两支曲线关于原点对称，这种图象通常称为双曲线。
它与x 轴和y 轴没有交点，它的两个分支无限接近坐标轴，但永远不能到达坐标轴. (2)反比例函数y=xk 图象的两个分支位居的象限与k 的正负有关， ① 当k>0时，函数的图象分布在第 一、三象限； (如下图) 函数的图象在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y 的值随x 的增加而 减小；②当k<0时，函数的图象分布在第 二、四 象限、函数的图象在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y 的值随x 的增大而增大。
(3)双曲线既是中心对称图形. 也是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线知识点3：反比例函数中的比例系数k 的几何意义(1)反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。
(2)过反比例函数图象上的任意一点作 x 轴的垂线，那么这点与垂足、坐标系原点构成的三角形的面积是一个定值，即22xy k S ==。
知识点4： 反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定只需确定k 值，需要一个点即可列出方程知识点5：反比例函数在实际问题中的应用在利用反比例函数解决实际问题中，一定要注意y=xk 中的k 不等于零这一条件，结合图像说出性质，根据性质画出图像，以及求函数表达式是必须牢牢记住的知识点二、同步题型分析题型1：反比例函数的概念、图像与性质例1：下列函数关系中，哪些是反比例函数？如果是，比例系数是多少？（1）x y 4=；（2）x y 21-=；（3）2x y =；（4）x y -=1（5）1=xy解：（1）是反比例函数，比例系数是4 （2）是反比例函数，比例系数是21-（3）不是（4）不是（5）是反比例函数，比例系数是1例2：已知函数xk k y )3(+=是反比例函数，则k 应满足的条件是（ ）A ．3≠kB ．3-≠kC ．0≠k 或3≠kD ．0≠k 且3-≠k解析：反比例函数xky =（0≠k ）,所以(3)0k k +≠，即D ．0≠k 且3-≠k 答案：D变式:函数32-=x y 的自变量x 的取值范围是 ． 总结:反比例函数的取值范围 一般地，函数y=kx（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数，x 的取值范围是x≠0，y 的取值范围是y≠0． 例3：已知函数23)2(m xm y --=为反比例函数.（1）求m 的值；（2）它的图象在第几象限内？在各象限内，y 随x 的增大如何变化？ （3）当－3≤x ≤21-时，求此函数的最大值和最小值.解：（1）（2）它的图象在第二，三象限内，在各象限内y 随x 的增大而增大（3）当－3≤x ≤21-时，由于在第二象限内y 随x 的增大而增大，所以y 大＝8 y 小=34变式: 1.反比例函数1m y x-=的图象在第一、三象限，则m 的取值范围是 ．答案：1m ≥ 2.函数y ＝1x-图象的大致形状是（ ）A B C D总结：反比例函数ky x=的图象是由两个分支组成的双曲线，图象的位置与比例系数k 的关系有如下两种情况： （1）0k >⇔双曲线的两个分支在第一、三象限 （2）0k <⇔双曲线的两个分支在第二、四象限 答案：D例4：已知函数24213m y m x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是反比例函数，且在每一象限内，y 随x 增大而减小，求这个反比例函数答案：56y x=∴－5m=－2 ∴m=52 点A 关于x ，y 两坐标轴和原点的对称点分别是 A 1（－5， －52）；A 2（5， 52）；A 3（5， －52） 由k=－2得，A 1 ；A 2不在图像上。
A 3在图像上 变式:若反比例函数ky x=的图象经过点（-1,2)，则这个反比例函数的图象一定经过点（ ） A 、(2,-1) B 、(12-,2) C 、(-2,-1) D 、(12,2)分析：由反比例函数解析式判断点是否在图像上. 答案：A例3：已知y 与 2x 成反比例，且当x =3时，y =61，那么当x =2时，y =_________，当y =2时，x =_________. 答案：14y =, 14x = 题型3：反比例函数K 的几何意义 例1：如图，过反比例函数图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连结OA 、OB ，设AC 与OB 的交点为E ，与梯形ECDB 的面积分别为，比较它们的大小，可得( ) A.B. C. D. 大小关系不能确定分析：由反比例的几何性质可得，S AOC S BOD =，又1S S AOC S EOC =-, 2S S BOD S EOC =-所以，答案：B例2： 如图：点A 在双曲线ky x=上，AB ⊥x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB=2，则k =______．分析：由反比例的几何性质可得22xy kS ==,即4k =，4k =±，又反比例函数图象过二、四象限，所以4k =-。
例3：如图，A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ）A ． 2S =B ． 4S= C ．24S << D ．4S >分析：由反比例的中心对称性质，运用图形割补法，可把△ABC 转化为一个矩形，再由几何性质即可求解。
答案：A题型4：反比例函数的简单应用 例1：如图，点A 、B 在反比例函数k y x=的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为,2a a (0)a >，AC ⊥x 轴，垂足为C ，且2AOC S ∆=，（1）求该反比例函数的解析式；（2）若点1(,)a y -、2(2,)a y -在该反比例函数的图象上，试比较1y 、2y 的大小；（3）求△AOB 的面积答案：（1）4yx=；（2）12y y<；（3）3解析：（1）因为2AOCS∆=，所以4k=，所以反比例函数的解析式为4yx=；（2）若点1(,)a y-、2(2,)a y-在该反比例函数的图象上，而且0a>，所以2a a->-，又因为0k>，所以y随x的增大而减小，所以12y y<；（3）把A、B两点横坐标代入到反比例函数的解析式中可以得到442yaya⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以得到A、B两点坐标分别为4(,)aa、2(2,)aa，所以CD a=，于是△AOB的面积等于△AOC的面积加上四边形ABCD的面积减去△OBD的面积，所以△AOB的面积1423()332aa a++⋅-=例2：如图，Rt△AOB的顶点A是直线(1)y x m=+-与双曲线myx=在第一象限内的一个交点，且3AOBS∆=，直线(1)y x m=+-与x轴的交点为C，（1）求m的值；（2）求△ACB的面积答案：（1）6m=；（2）18解析：（1）因为3AOBS∆=，所以6AB OB⋅=，所以6m=；（2）因为6m=，所以直线解析式为5y x=+，所以直线与x轴的交点为C为(5,0)-并且联立直线双曲线解析式可以得到交点A的坐标为(1,6)，所以△ACB的面积等于11661822AB BC⋅=⨯⨯=例3：（2008广州中考22题）如图8，一次函数y kx b=+的图象与反比例函数myx=的图象相交于A、B两点（1）根据图象，分别写出A、B的坐标；（2）求出两函数解析式；（3）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值答案：（1）y ＝0.5x ＋１，y ＝x12（2）－６<x <0或x >4 变式：如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图象交于A 、B 两点，（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x 的取值范围答案：（1）2y x =-；1y x =--；（2）2x <-或01x <<解析：（1）因为A 、B 两点的坐标分别为(2,1)-和(1,)n ，所以先把(2,1)-代入到反比例函数的解析式中得到2m =-，于是反比例函数的解析式为2y x=-，再把(1,)n 代入到反比例函数解析式中，可以得到2n =-，所以B点坐标为(1,2)-，再把A 、B 两点坐标代入到一次函数的解析式中，得到212k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，所以解得11k b =-⎧⎨=-⎩，所以一次函数解析式为1y x =--；（2）根据图象，一次函数的值大于反比例函数的值的图象为第三象限A 点左侧和第四象限B 点左侧部分，所以2x <-或01x <<解：过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E ，由双曲线上点的性质，得S △AOC =S △DOE = 12k ∵DE ⊥x 轴，AB ⊥x 轴， ∴DE ∥AB ， ∴△OAB ∽△OED ， 又∵OB=2OD ， ∴S △OAB =4S △DOE =2k ， 由S △OAB -S △OAC =S △OBC ， 得2k-12k =6， 解得k=4．8.如图，直线y ＝mx 与双曲线x ky =交于A ，B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM ，若S △ABM ＝2，则k 的值是( )．解：设点A 的坐标为（x ，y ）， ∴B 的坐标为（-x ，-y ）， ∵S △ABM =4， ∴1242xy ⨯= ∴xy=4， ∴k=xy=4，故答案为4．9.如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += 410.已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OCD 的一边OC 在x 轴上，∠C ＝90°，点D 在第一象限，OC ＝3， DC ＝4，反比例函数的图象经过OD 的中点A ． (1)求该反比例函数的解析式；(2)若该反比例函数的图象与Rt △OCD 的另一边交于点B ，求过A 、B 两点的直线的解析式．解:(1)OC=3，DC=4，图象经过OD 的中点A ．则A(1.5,2)设ky x=2=k/1.5 ,k=3该反比例函数的解析式3y x = (2)B 点横坐标为3，代入3y x=得，B(3,1)设直线y=kx+b ，则2 1.513k bk b =+⎧⎨=+⎩k=-2/3,b=3 y=-2/3x+3一、专题精讲例1：病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含量达到归大值为4毫克。