解析几何中对称问题的常见求解方法
关键词：对称点、对称直线
解析几何中的对称问题在现行中学数学材料中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。
但这部分知识是解析几何中重要的基础内容，也是近年来的高考热点之一。
对称点、对称直线的求法，对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的。
这就要求教师在讲完直线、曲线部分后，需对对称问题进行适当的归纳、总结。
使学生对这部分知识有一个较完整的、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。
本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题和解决办法。
一、关于点对称。
1、点关于点对称。
①点(,)P a b 关于原点的对称点坐标是(,)a b --；②点
(,)P a b 关于某一点00(,)M x y 的对称点的坐标，利用中点坐标式求得为00(2,2)x a y b --。
2、直线关于点对称。
① 直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线。
设所求直线上一点为(,)P x y ，则它关于原点的对称点为(,)Q x y --，因为Q 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=；② 直线1l 关于某一点00(,)M x y 的对称直线2l 。
它的求法分两种情况：1、当00(,)M x y 在1l 上时，它的对称直线为过M 点的任一条直线。
2、当M 点不在1l 上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)P x y ，则它关于M 的对称点为
00(2,2)Q x x y y --，因为Q 点在1l 上，把Q 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的
方程。
解法（二）：在1l 上取一点11(,)P x y ，求出P 关于M 点的对称点Q 的坐标。
再由12l l K K =，可求出直线2l 的方程。
解法（三）：由12l l K K =，可设
1:0l Ax By C ++=关于点00(,)M x y 的对称直线为'0Ax By C ++=
且
=
求设'C 从而可求的及对称直线方程。
3、曲线关于点对称，曲线1:(,)0C f x y =关于00(,)M x y 的对称曲线的求法：设(,)P x y 是所求曲线的任一点，则P 点关于00(,)M x y 的对称点为
00(2,2)x x y y --在曲线(,)0f x y =上。
故对称曲线方程为00(2,2)0f x x y y --=。
二、关于直线对称 1、点关于直线对称。
⑴ 点(,)P a b 关于x 轴、y 轴，直线x y =，x y =-的对称点坐标可利用图像分别求设为(,),(,),(,),(,)a b a b b a b a ----。
⑵ 点(,)P a b 关于某直线:0L Ax By C ++=的对称点'P 的坐标。
解法（一）：由'PP ⊥L 知，'PP B K A =
⇒直线'PP 的方程→()B
y b x a A
-=-由0
()Ax By C B
y b x a A
++=⎧⎪
⎨-=-⎪⎩可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点'P 的坐标。
解法（二）：设对称点'(,)P x y 由中点坐标公式求得中点坐标为(,)22a x b y
++把中点坐标代入L 中得到022
a x
b y
A B C ++⋅
+⋅+=；
① 再由'PP B K A =得b y B a x A
-=-②，联立①、②可得到'P 点坐标。
解法（三）：设对称点为'(,)P x y ，由点到直线的距离公式
有
=
①，再由'PP B K A =
得b y B
a x A
-=-②由①、②可得到'P 点坐标。
2、直线1l 关于直线l 的对称直线2l 。
⑴ 当1l 与l 不相交时，则1l ∥l ∥2l 。
在1l 上取一点00(,)P x y 求出它关于l 的对称点Q 的坐标。
再利用12l l P P =可求出2l 的方程。
⑵ 当1l 与l 相交时，1l 、l 、2l 三线交于一点。
解法（一）：先解1l 与l 组成的方程组，求出交点A 的坐标。
则交点必在对称直线2l 上。
再在1l 上找一点B ，点B 的对称点'B 也在2l 上，由A 、'B 两点可求出直线2l 的方程。
解法（二）：在1l 上任取一点11(,)P x y ，则P 点关于直线l 的对称点Q 在直线2l 上，再由PQ ⊥l ，1PQ L K K =-。
又PQ 的中点在l 上，由此解得
11(,),(,)x f x y y g x y ==，把点11(,)x y 代入直线1l 的方程中可求出2l 的方程。
解法（三）：设1l 关于l 的对称直线为2l ，则2l 必过1l 与l 的交点，且2l 到l 的角等于l 到1l 的角，从而求出2l 的斜率，进而求出2l 的方程。
3、曲线关于直线对称。
曲线1C 关于直线l 的对称曲线2C 的方程，在2C 上任取一点(,)P x y ，可求出它关于l 的对称点坐标，再代入1C 中，就可求得2C 的方程。
综合上述，求对称问题通常采用变量替换、数形结合等解题思想。
求对称问题的通法是：⑴ 求对称点一般采用，先设对称点(,)P x y ，再利用中点坐标公式或垂直、平分等条件，列出,x y 的方程组，解方程组所得的解就是对称点的坐标，⑵ 求对称直线一般是：先设对称曲线上任一点(,)P x y ，再利用求对称点的方程求出P 点的对称点Q 点坐标，将Q 点坐标代入已知曲线方程中，所得的关于,x y 的关系式，就是所求对称曲线的方程。
通过上述研究，解析几何中的各种对称点，对称曲线（包括直线）列表如下：
由此可见，熟练地记忆和掌握各种对称点和对称曲线的求法，将会对我们解决对称问题带来很大的方便。