解析几何中的对称问题答案2007-11-161、D2、 A 3．B 4.C 5．C 6.C 7.C 8.A 9.B 10、B3．B ．因为入射光线必过点P 所以将点P 坐标代入可排除A.C 即而求出点Q 关于直线x+y+1=0的对称点Q ’(-2,-2)则入射光线的斜率为45'=PQ k 可选B 。

4.C 点(7，3)与点(m ，n)关于直线y =x+2对称，∴m =1，n =9.5．C 由1l 过定点(0,2)M 知：直线2l 恒过M 关于直线1y x =+的对称点(1,1)，选C 。

7．解析：选C ．设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．11．y=3x －10 12．2x －y + 5=013．2246492200x x y -++= 14 ．22228110x y y x -+--= 15．椭圆上两点(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，相减得31212()()x x x x +-+412()y y +()y y 120-=。

又x x x =+122，y y y =+122，k y y x x =--=-121214，代入得y x =3。

又由y xy x m==+⎧⎨⎩34解得交点(,)--m m 3。

交点在椭圆内，则有 ()()-+-<m m 224331。

得-<<2131321313m 。

16．两点所在直线y m =-+22与y mx =联立求出交点(,)-+-+m m m 2222，代入抛物线内，有()-++<-++m m m m 2212212，解得-<<20m 。

17．11,,00,3223k 骣骣骣珑鼢珑鼢???热+?珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢桫桫珑桫桫 18．设抛物线上关于直线x+y=1对称的两点是M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)，设直线MN 的方程为y=x+b.代入抛物线方程，得：x 2+(2b-2p)x+b 2=0.则x 1+x 2=2p-2b,y 1+y 2=( x 1+x 2)+2b=2p.则MN 的中点P 的坐标为 (p-b,p).因为点P 在直线x+y=1上，所以2p- b=1，即b=2p-1。

又 =(2b-2p)2-4b 2=4p 2-8bp>0,将b=2p-1代入得:4p 2-8p(2p-1)>0,3p 2-2p<0.解得： 0<p<32. 19．分析一 根据椭圆的定义，长轴长2a=｜MF 1｜+｜MF 2｜，从建立目标函数考虑，可设点M 的坐标为（t ，6-t ），设F 1（-2，0）， F 2（2，0），则可建立2a 的目标函数。

但这时求函数2a 的最小值还很麻烦。

分析二 如图13-11，根据椭圆的定义，椭圆的长轴最短，就是椭圆与l 的公共点M 到焦点F 1和F 2的距离之和最短，若设椭圆和直线l 相切，那么除切点外的任何点都在椭圆外，到两焦点的距离之和均大于长轴，所以M 应为切点，椭圆应通过此切点。

解法一 由已知，a 2=9，b 2=5，∴ c=2，即两椭圆的公共焦点F 1（-2，0）和F 2（2，0）。

n 2x 2 + m 2（6-x ）2=m 2n 2由已知，应有n 2=m 2-4，代入整理，得（2m 2-4）x 2-12m 2x+40m 2-m 4=0由于直线l 应与此椭圆相切，必须且只需Δ=144m 4-4（2m 2-4）（40m 2-m 4）=0 整理此方程，得 m 4-24m 2+80=0（m 2-20）（m 2-4）=0∴m 2=20或m 2=4，但n 2=m 2-4=0不合题意，只有m 2=20，且n 2=m 2-4=16，若存在椭圆c ′过直线l 的另一点M ′，由于M ′在椭圆外，则必有｜M ′F 1｜+｜M ′F 2｜＞｜MF 1｜+｜MF 2｜分析三 由于椭圆的长轴最短时，应有 ｜MF 1｜+｜MF 2｜最小，即M 点应为直线l 上距F 1和F 2的距离之和为最短，据平面几何的等价命题可知，这个最短的距离和应是线段｜F 1F ′2｜的长，其中F ′2是F 2关于直线l 的轴对称点，故可得解法二。

解法二 如图13-12，设F 2（2，0）关于直线l 的对称点/2F①又应有F 2F ′2⊥l ，则有 ②应有 ｜MF 1｜+｜MF 2｜=｜MF 1｜+｜MF ′2｜=｜F 1F ′2｜=2a又由c=2得b 2=a 2-c 2=16，20.2222153x y -= 21．解：（Ⅰ）( i ) 当0=k 时,此时A 点与D 点重合, 折痕所在的直线方程21=y ，( ii ) 当0≠k 时，设A 点落在线段DC 上的点)1,(0x A '，CDy)20(0≤≤x ，则直线A O '的斜率001x A k ='， ∵,A O '折痕所在直线垂直平分 ∴1-=⋅'k k A O ，∴11-=⋅k x ，∴k x -=0 又∵折痕所在的直线与A O '的交点坐标（线段A O '的中点）为)21,2(k M -， ∴折痕所在的直线方程)2(21k x k y +=-，即2122k y kx =++，由( i ) ( ii )得折痕所在的直线方程为：2122k y kx =++)02(≤≤-k（Ⅱ）折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为)0,21(,)21,0(22kk F k E +-+由（Ⅰ）知，0x k -=，∵200≤≤x ，∴02≤≤-k ，设折痕长度为d ，所在直线的倾斜角为θ，( i ) 当0=k 时，此时A 点与D 点重合, 折痕的长为2 ； ( ii )当02<≤-k 时，设k k a 212+-=，212+=k b ，20=≤<AB a 时，l 与线段AB 相交，此时322+-≤≤-k ， 2=>AB a 时，l 与线段BC 相交，此时032<<+-k ， 10≤<b 时，l 与线段AD 相交，此时01<≤-k ， 1>b 时，l 与线段DC 相交，此时12-<≤-k ，∴将k 所在的分为３个子区间：①当12-<≤-k 时，折痕所在的直线l 与线段DC 、AB 相交，折痕的长11||11||1|sin |1222+=+=+==kk k k k d θ，∴225<≤d ， ②当321+-≤≤-k 时，折痕所在的直线l 与线段AD 、AB 相交，折痕的长4341434)21()21(2242222+++=+++-=k k k k k k d 令0)(≥'x g ，即0212333≥-+kk k ，即013246≤-+k k ， 即 0)21()1(222≤-+k k ，∵321+-≤≤-k ，∴解得3222+-≤≤-k 令0)(≤'x g ， 解得 221-≤≤-k ， 故当221-≤≤-k 时，)(x g 是减函数，当3222+-≤≤-k 时，)(x g 是增函数，∵2)1(=-g ，)348(4)32(-=+-g ， ∴)32()1(+-<-g g ，∴当32+-=k 时，)348(4)32(-=+-g ，)26(23482)32(-=-=+-=g d ，∴当321+-≤≤-k 时， )26(2-≤d ，③当032<<+-k 时，折痕所在的直线l 与线段AD 、BC 相交， 折痕的长2212112|cos |2k k d +=+==θ，∴34822-<<l ，即)26(22-<<l ，综上所述得，当32+-=k 时，折痕的长有最大值，为)26(2-． 22．（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c a b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由.所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a e aa b e a c λλ=+-=得即 证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a e a -设M 的坐标是),,(),(),,(0000a eay e a x AB AM y x λλ=+=得由所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y ea x λλ 因为点M 在椭圆上，所以 ,1220220=+b y a x 即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e 解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）当43=λ时，21=c ，所以.2c a = 由△MF 1F 2的周长为6，得.622=+c a所以.3,1,2222=-===c a b c a 椭圆方程为.13422=+y x （Ⅲ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e e e =+- 所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 23．（I ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，0])3(3)3([422>--+=∆∴k k λ ②221a a c e e e b a a l l l ìïï-=ïïï=-íïï=ïïïî解得)3,1(.3)3(2221N k k k x x 由且+-=+是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A.0))(())((33,32121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠.04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+⨯>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλΘ（II ）解法1：.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分Θ代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得).3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x.016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥.||||.,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当Θ假设在在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ⋅=⇔).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边=.212-λ由④和⑦知，⑧式右边=)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ ,2122923-=--=λλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆 解法2：由（II ）解法1及12>λ.,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分Θ代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,2122,4,321-±-=-±-λλx x不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλ)21233,23123(-------+=λλλλ计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上. 又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）24．解：（I ）由题意设双曲线方程为12222=-by a x ，把（1，3）代入得13122=-ba ① ……1分 又x y 522=的焦点是（25，0），故双曲线的45222=+=b a c ……2分 与①联立，消去2b 可得0521424=+-a a ，0)5)(14(22=--a a∴ 412=a ，52=a （不合题意舍去） 于是12=b ，∴ 双曲线方程为1422=-y x ……3分（II ）由⎩⎨⎧=-+=14122y x kx y 消去y 得022)4(22=---kx x k ②当0>∆,即2222<<-k （2±≠k ）时，l 与C 有两个交点A 、B ……5分设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）， 因⊥，故0=⋅，即02121=+y y x x ， ……6分由②知22142k k x x -=+，22142k x x --=， 代入可得014242422222=+-⋅+--⋅+--kk k k k k 化简得22=k ，∴ 2±=k ， 检验符合条件，故当2±=k 时，⊥ ……8分（III ）若存在实数k 满足条件，则必须121212121(1)()2(2)(3)22km y y k x x y y x x m ⎧⎪=-⎪+=++⎨⎪++⎪=⋅⎩ ……10分 由（2），（3）得2)()(2121++=+x x k x x m （4）把22142k kx x -=+代入（4）得4=mk ……11分这与（1）的1-=mk 矛盾，故不存在实数k 满足条件 ……12分 25．(1)证明：由抛物线的光学性质及题意知光线PQ 必过抛物线的焦点F (2p，0)， 设直线PQ 的方程为y =k (x －2p)①由①式得x =k 1y +2p ,将其代入抛物线方程y 2=2px 中，整理，得y 2－k p 2y －p 2=0,由韦达定理，y 1y 2=－p 2.当直线PQ 的斜率角为90°时，将x =2p代入抛物线方程，得y =±p ,同样得到y 1·y 2= －p 2.(2)解：因为光线QN 经直线l 反射后又射向M 点，所以直线MN 与直线QN 关于直线l 对称，设点M (441，4)关于l 的对称点为M ′(x ′,y ′)，则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+'⨯-+'⨯-=⨯-'-'017244244121214414y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧-='='1451y x 直线QN 的方程为y =－1,Q 点的纵坐标y 2=－1，由题设P 点的纵坐标y 1=4，且由(1)知：y 1·y 2=－p 2,则4·(－1)=－p 2, 得p =2,故所求抛物线方程为y 2=4x .(3)解：将y =4代入y 2=4x ,得x =4，故P 点坐标为(4，4) 将y =－1代入直线l 的方程为2x －4y －17=0,得x =213, 故N 点坐标为(213，－1) 由P 、N 两点坐标得直线PN 的方程为2x +y －12=0, 设M 点关于直线NP 的对称点M 1(x 1,y 1) ⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+++⨯-=-⨯--14101224244121)2(4414111111y x y x x y 解得则又M 1(41,－1)的坐标是抛物线方程y 2=4x 的解，故抛物线上存在一点(41，－1)与点M 关于直线PN 对称.26.解法一：由e =22=a c ,得21222=-ab a ,从而a 2=2b 2,c =b . 设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上.则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得，(x 12－x 22)+2(y 12－y 22)=0,.)(221212121y y x x x x y y ++-=--设AB 中点为(x 0,y 0),则k AB =－002y x ,又(x 0,y 0)在直线y =21x 上，y 0=21x 0,于是－002y x = －1,k AB =－1,设l 的方程为y =－x +1.右焦点(b ,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′),⎩⎨⎧-='='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++'-='=-''b y x b x y bx y 11 1221解得则 由点(1,1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2,b 2=89,1692=a . ∴所求椭圆C 的方程为2291698y x + =1,l 的方程为y =－x +1.解法二：由e =21,22222=-=ab a ac 得,从而a 2=2b 2,c =b . 设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1), 将l 的方程代入C的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0,则x 1+x 2=22214k k +,y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－2212kk+. 直线l ：y =21x 过AB 的中点(2,22121y y x x ++),则2222122121kk k k +⋅=+-,解得k =0，或k = －1.若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1),即y =－x +1,以下同解法一. 27.解：(1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3.故椭圆方程为92522y x +=1. (2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=59.因为椭圆右准线方程为x =425,离心率为54，根据椭圆定义，有|F 2A |=54(425－x 1),|F 2C |=54(425－x 2)，由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×59,由此得出：x 1+x 2=8. 设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=221x x +=4.(3)解法一：由A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)在椭圆上.得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x①－②得9(x 12－x 22)+25(y 12－y 22)=0, 即9×)()2(25)2(21212121x x y y y y x x --⋅+++=0(x 1≠x 2) 将k x x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0)代入上式，得9×4+25y 0(－k1)=0 (k ≠0)即k =3625y 0(当k =0时也成立). 由点P (4，y 0)在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m ,所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0. 由点P (4，y 0)在线段BB ′(B ′与B 关于x 轴对称)的内部，得－59＜y 0＜59,所以－516＜m ＜516.解法二：因为弦AC 的中点为P (4,y 0)，所以直线AC 的方程为y －y 0=－k1(x －4)(k ≠0) ③将③代入椭圆方程92522y x +=1,得(9k 2+25)x 2－50(ky 0+4)x +25(ky 0+4)2－25×9k 2=0 所以x 1+x 2=259)4(5020++k k =8,解得k =3625y 0.(当k =0时也成立) (以下同解法一). 28．（1）设 ，则 ，即 ，得 ，或 因为 所以03>-v ，得8=v ，故 （2）由 ，得B （10，5），于是直线OB 方程： 由条件可知圆的标准方程为：10)1()3(22=++-y x得圆心（3，1-），半径为10设圆心（3，1-）关于直线OB 的对称点为（x ，y ），则 ，得 故所求圆的方程为10)3()1(22=-+-y x①②20AB OA AB OA ìï=ïïíïï?ïîu u u r u u u ru u u r u u u r 22100430u v u v ìï+=ïíï-=ïî68u v ì=ïïíï=ïî68u v ì=-ïïíï=-ïî{}43OB OA AB u v =+=+-u u u r u u u r u u u r ，{}68AB =u u u r，{}105OB =u u u r ，12y x =312022123x y y x ì+-ïï-?ïïíï+ï=-ïï-ïî13x y ì=ïïíï=ïî{}AB u v =u u u r ，（3）设)(11y x P ，，)(22y x Q ，为抛物线上关于直线OB 对称的两点，则，得 即21x x 、为方程 的两个相异实数则302a\D >? 29．解：（Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则211-=+m n 且032212=+--⋅nm ．……2分 解得52,59=-=n m ， 因此，点 1F '的坐标为)52,59(-． …………………4分（Ⅱ）11PF F P ='Θ，根据椭圆定义， 得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)052()159(22=-+--=，……………5分 2=∴a ，112=-=b ．∴所求椭圆方程为1222=+y x ． ………………………………7分 （Ⅲ）22=ca Θ，∴椭圆的准线方程为2±=x ． …………………………8分 设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离． 则10105)32()1(2221++=++-=t t t t d ，22-=t d ．22221)2(225210105-++⋅=-++=t t t t t t d d ， ……………………………10分 令22)2(22)(-++=t t t t f )22(<<-t ，则3422)2()86()2()2(2)22()2()22()(-+-=--⋅++--⋅+='t t t t t t t t t f ， Θ当0)(,342<'-<<-t f t ，0)(,234>'<<-t f t ， 34-=t ，0)(='t f ．∴ )(t f 在34-=t 时取得最小值． ………………………………13分1212121220222x x y y y y x x ì++ïï-=ïïïí-ïï=-ïï-ïî121222522x x a a x x a ìïï+=-ïïíï-ï=ïïïî2225202a x x a a -++=因此，21d d 最小值＝22)34(5=-⋅f ，此时点Q 的坐标为)31,34(-．…………14分注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．30．(1)离心率e 的取值范围是122<≤e . （2）①当离心率e 取最小值22时，椭圆方程可表为22222by b x +=1 设),(y x H 是椭圆方程上的一点，则182)3()3(22222+++-=-+=b y y x HN，其中b y b ≤≤-.若30<<b ，则当b y -=时，2NH 有最大值50962=++b b ，所以由50962=++b b 解得253±-=b （均舍去）若3≥b ，则当3-=y 时，2NH 有最大值1822+b ，所以由1822+b =50解得162=b所求椭圆方程为1163222=+y x . ②设),(),,(),,(002211y x Q y x B y x A ,则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+116321163222222121y x y x 两式相减得0200=+ky x ①又直线PQ ⊥直线l ，所以PQ 的方程331--=x k y ，将),(00y x Q 代入得33100--=x k y ②由①②解得)33,332(k Q -，而点Q 必在椭圆的内部，所以116322020<+y x ，由此得2472<k ，又0≠k ，所以0294<<-k 或2940<<k . 故当)294,0()0,294(⋃-∈k 时，A 、B 两点关于过点P 、Q 的直线对称。