2
y
l
.M
O
.N
x
例题剖析
y
l
得
.M
O
.N
x
∵
y
l
.M
O
.N
x
例3
例题剖析
另解：易知 k 0 ，设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，
AB 中点为 N ( x0 , y0 ) ，则
3x12 y12 3 y1 y2 3( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 0 2 2 x1 x2 3x2 y2 3 1 3x0 y0 ( ) 0 即3kx0 y0 0 (1) k 又 N ( x0 , y0 ) 在直线 l 上，即 y0 kx0 4 (2) 1 1 由（ 1） （ 2）可得 x0 , y0 3 即N ( ,3) k k
A、B 在椭圆上
( m ) 2 ( 3m ) 2 1 4 3
M 在椭圆内
解得 2 13 m 2 13 . 13 13
必修2
第二章
解析几何初步
解法3
设 A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，AB 与 l 的交点M ( x0，y0 )
则 x y 1[1] 4 3
解： 设 A、B 关于直线l 对称，且直线 AB 交 l 于 M，
y
y 1 xn 则由已知可设直线 AB 方程为： B . 4 M y 4x m 4 (n m) O x 解方程组 m 1 17 y x n 4 y 1 x n 4 2 2 消y 解方程组 2 13 x 8 nx 16 n 48 0 2 y x 1 3 4
2 1 2 1
y
l
B
M
x y 1[2] 4 3
2 2
2 2
.A
O
x
3x y y2 x x2 0 1 由 [1] [2] 得 ：1 3 1 4 y0 4 x1 x2 4 y1 y2
y0 3x0 [3] 又M l y0 4 x0 m[4]
又 N ( x0 , y0 ) 在直线 y 4 x m 上，则
12 4 13 4 m m (2) 13 13 4
4 2 13 2 13 将（ 2）代入（ 1）得 m ，即 m . 13 13 13
2
例题剖析
另解：设椭圆上 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 关于直线 y 4 x m 对称，则
2 2 2
知识归纳
圆锥曲线上存在两点关于已知直线对称 问题的处理思路：
（1）垂直平分 ；两点关于已知直线对 称即两点的连线与已知直线垂直而且两 点的中点在已知直线上； （2）对称点存在；曲线上存在两点关 于已知直线对称的条件是保证两对称 点所在直线与曲线有两个公共点或保 证两对称点的中点在曲线内部。
3 x12 4 y12 12 3( x1 x2 )( x1 x2 ) 4( y1 y2 )( y1 y2 ) 0 2 2 3 x2 4 y2 12
y1 y2 由 x1 x2 得 3( x1 x2 ) 4( y1 y2 ) 0 x1 x2 设 AB 中点为 N ( x0 , y0 ) ，则
l
.A
x
[1]
必2
第二章
解析几何初步
x1 x 2 4n xm 2 13
y
l
B
M
4 ( n m ) 4 n n 13 m 17 13 4
又 A、B 在椭圆上
.A
O
x
[1] 式的 64n2 4 13(16n2 48) 0 即 4n2 13
例题剖析
由
1 1 y 3 （x ) k k 2 2 3 x y 3 (3k 4 k 2 ) x2 (2k 6k 3 ) x (12k 4 6k 2 1) 0
3k 2 1 0 则 8 6 4 144 k 84 k 12 k 0 1 1 2 2 即 k 或k ，又k 0 ，所以 k 的取值范围是 4 3 3 1 1 3 (, ) ( , 0) (0, ) ( , ) 3 2 2 3
2 2 2
得 13x 8 x 16 48 0 ，
例题剖析
13 (1) 由 64 4 13 (16 48) 0 4 8 又 x1 x2 ，记 AB 中点为 N ( x0 , y0 ) ，则
2 2 2
13
x0
4 1 12 , y0 x0 13 4 13
称曲线 C2 : f (2a x, 2b y) 0.
（ 2）曲线 C1 : f ( x, y) 0 关于点 M (a, b) 的对
复习回顾
必修2
第二章
解析几何初步
2、求某点 P （或曲线 C1 ）关于直线 l （对称轴）的对称 点 Q 的坐标（或对称曲线 C2 的方程）叫做轴对称变换。
(2)
又 N ( x0 , y0 ) 在直线 y 4 x m 上，则 y0 4x0 m
由（ 1） （ 2）得 x0 m, y0 3m
两 个 对 称 点 A, B 存 在 N ( x0 , y0 ) 在 椭 圆 内 部
x0 2 y0 2 1 4 3
2 13 2 13 4 ，即 m . 3(m) 4(3m) 12 m 13 13 13
解：设椭圆上 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 关于直线 y 4 x m 对称，
1 y x ，消去 y 4 2 2 3 x 4 y 12
2 2
1 设 AB : y x ，则由 4
l
B
.
N
.A
13 (1) 由 64 4 13 (16 48) 0 4
（ 5）曲线 C1 : f ( x, y) 0 关于直线 y x 的对称曲线 C2 的方程是 f ( y, x) 0 ；
例题剖析
x2 y 2 例 1.已知椭圆 C 的方程为 1 ，椭圆上有两点 4 3 关于直线 y 4 x m 对称，试确定实数 m 的取值范围。
x y 16 16 (1) 1;(2) x0 4;(3) m . 25 9 5 5
2
2
知识归纳
圆锥曲线上存在两点关于已知直线对称 问题的处理思路：
（1）垂直平分 ；两点关于已知直线对 称即两点的连线与已知直线垂直而且两 点的中点在已知直线上； （2）对称点存在；曲线上存在两点关 于已知直线对称的条件是保证两对称 点所在直线与曲线有两个公共点或保 证两对称点的中点在曲线内部。
y 1 x n 4 消y 解方程组 2 2 y x 1 3 4
B
M
l
.A
O
x
13x 2 8nx 16n2 48 0
[1]
x1 x 2 4n 4 ( n m ) 4 n n 13 m xm 2 13 17 13 4 xm 4 ( 13 m ) m 13 4 3m ) M ( m， ym 3m
1 k 1
例题剖析
2 y 例 3.已知双曲线 x 2 1，双曲线上存在两点 3 关于直线 l : y kx 4 对称， 求实数 k 的取值范围。
（ 1） 直线 l 外一点 P( x1 , y1 ) 关于直线 l : Ax By C 0 的对称点 Q( x2 , y2 ) ，可由如下方程组确定
y2 y1 A ( ) 1 x2 x1 B A x1 x2 B y1 y2 C 0 2 2
高二数学 选修 2-1
专题三
解析几何中的 对称问题
第三章 圆锥曲线与方程
2019年2月28日星期四
复习回顾
必修2
第二章
解析几何初步
1.
复习回顾
必修2
第二章
解析几何初步
2.
复习回顾
必修2
第二章
解析几何初步
3.
复习回顾
必修2
第二章
解析几何初步
4、曲线在特殊对称情形下的对称曲线的方程
（ 1）曲线 C1 : f ( x, y) 0 关于原点的对称曲线 C2 的方程是 f ( x, y) 0 ；
作业
1．已知圆锥曲线 C 经过定点 P(3, 2 3) ，它的一个焦 点 F (1, 0) ，对应准线为 x 1. （ 1）求圆锥曲线 C 的方程； （ 2） 若 在圆 锥 曲线 C 上 恒 有两 点 关于 直 线 l : y kx 3 对称，求实数 k 的取值范围。
(1) y 4x
2
(2)0 k 1
复习回顾
必修2
第二章
解析几何初步
1. 求某点 P （或曲线 C1 ）关于点 M （对称中心）的对称
点 Q 的坐标（或对称曲线 C2 的方程）叫做中心对称变换。
（ 1） 点 P( x0 , y0 ) 关于点 M (a, b) 的对称点
Q(2a x0 , 2b y0 ) ；
反馈训练
1．已知一椭圆的焦点是 F ，过点 F2 1 (4,0), F 2 (4,0) 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B ，且
F1B F2 B 10
，
椭
圆
上
不
同 两
点
F2 B 、 F2C 成等差数列。 A( x1, y1 ), C( x2 , y2 ) ，且 F2 A 、
（ 1）求椭圆方程； （ 2）求弦 AC 中点的横坐标； （ 3） 设弦 AC 的垂直平分线方程为 y kx m ， 求实数 m 的取值范围。