随机过程例题例1 求正态随机变量),0(~2σN X 的特征函数和各阶矩。

解：),0(~2σN X 的概率密度函数为+∞<<∞-=-x x f x ,e 21)(222σσπ2j 2j 2222ed e e 21d e )()(ωσωσωσπω-∞∞--∞∞-===Φ⎰⎰x x x f x x x⎩⎨⎧-⨯⨯⨯⨯=Φ-==为偶数（为奇数n n n X E n n X n nn,)1531 ,0d )(d )j ()(0σωωω例2 设随机变量X 服从标准正态分布N(0, 1)，定义随机变量Y = X2，求Y 的概率密度函数和数学期望。

解：X 的概率密度为：y -x y x h(y) = x ， x = g(x) =y 112==，，Y 的概率密度函数为：0 ,e 212)(2)(d d )()(2≥=-+==-y y yy f y y f y xx f y yπψY 的数学期望为：1d e2d )()(02===⎰⎰∞-∞+∞-y y y y y Y E y πψ1d e 2d )()()]([)(222====⎰⎰∞+∞--∞+∞-x x x x f x g X g E Y E x π例3 已知随机相位正弦波 ）Θ +t cos( a = (t) X ω)，其中 a >0，ω为常数，Θ 为在），（π20内均匀分布的随机变量。

求随机过程} ) (0, t (t),X {∞∈的均值函数)t (m X 和相关函数 t)(s,R X解：f ()(,cos 2)](cos[2),(0)(22s t a s t a t s R t m X X -==-==τωτω 例4 设 X (t) 为信号过程，Y (t) 为噪声过程，令W (t) = X (t) + Y (t)，则 W (t) 的均值函数为：)()()(t m t m t m Y X W +=),(R ),(R ),(R ),(R ),(R t s t s t s t s t s Y YX XY X W +++=例5 求在[0, 1]区间均匀分布的独立随机序列的均值向量、自相关阵和协方差阵，设N = 3。

解：i X 的一维概率密度函数为：⎩⎨⎧≤≤=其它,010 ,1)(x x f i X 21d d )(][1-====⎰⎰∞∞x x x x f x X E m i i X i X⎪⎩⎪⎨⎧≠=⋅====j i X E X E j i X E X X E r j i i j i ij , 4/1][][, 3/1][][2⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/12/1X M ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3/14/14/14/13/14/14/14/13/1X R ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/100012/100012/1X C例6 设复随机过程j 1()e , 0k nt k k Z t A t ω==≥∑其中A1, A2, … , An 是相互独立且服从 N(0,2k σ)的随机变量，n ωωω,...,,21为常数，求{ Z(t) , t >=0 } 的均值函数(t)m z 和相关函数 t)(s, R Z 。

0(t)m z =)(j n1k 2k Z et)(s, R t s k -=∑=ωσ 例7 设有随机相位过程）Θ +t asin( = (t) X ω，a,ω为为常数，Θ 为），（π20上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机过程X (t)的平稳性。

解：)sin(2)()sin()]sin([)]([2020=+=+=Θ+=⎰⎰ππθθωπθθθωωd t a d f t a t a E t X Eωτωθτωθωπττπcos 2])(sin[)sin(2)]()([),(2202a d t t a t X t X E t t R X =+++=+=+⎰因此X (t)是平稳随机过程例8 设} 2,... 1,0, =n ,X {n ±±是实的互不相关随机变量序列，且 E[Xn] = 0，D[Xn]=2σ，试讨论随机序列的平稳性 。

解：因为: (1) E[Xn] = 0⎩⎨⎧≠===++0 ,00,][),( )2(2ττσττn n X X X E n n R 故随机序列的均值为常数，相关函数仅与τ有关，因此它是平稳随机序列。

例9 已知随机相位正弦波 ）Θ +t cos( a = (t) X ω)，其中 a,ω为常数，Θ 为在），（π20内均匀分布的随机变量。

试问 X (t) 是否为各态历经过程。

解：021)cos()]([20=+=⎰πθπθωd t a t X E)cos(21lim)(=Θ+=⎰-∞→TTT dt t a Tt X ω)()()cos(2)(2τωττ+==t X t X a R X故 X (t) 是为各态历经过程。

例10 已知随机相位正弦波 ）Θ +t cos( a = (t) X ω)，）Θ +t bsin( = (t) Y ω其中 a ,b,ω为常数，Θ 为在），（π20内均匀分布的随机变量。

分析X (t)和Y (t)是否联合平稳。

解：0)]([)]([==t Y E t X E)(cos ),(22τωττX a X R t t R ==+，)(cos ),(22τωττY b Y R t t R ==+故 X (t)和 Y (t)均是平稳过程。

)(sin 2]})(sin[)cos({])()([),(τωττωωττXY XY R abt b t a E t Y t X E t t R ==Θ++Θ+=+=+所以 X (t)和 Y (t) 是联合平稳的。

例11 已知随机相位正弦波 ）Θ +t cos( a = (t) X 0ω)，其中 a ,b,0ω为常数，在下列情况下，求X(t)的平均功率：(1)Θ 为在），（π20内均匀分布的随机变量。

(2)Θ 为在)2/,0(π上均匀分布的随机变量。

解：（1）（如前例所证）随机过程 X (t) 是平稳过程，)cos(2)(02τωτa R X =2)0(2a R P X ==（2）)2sin(2)](cos [)]([0220222t a a t a E t X E ωπω-=Θ+=X (t) 是非平稳过程2d )]([21lim22a t t X E TP TTT ==⎰-∞→例12 已知平稳过程的相关函数为)cos(e)(0τωττa X R -=其中 a > 0,0ω为常数，求谱密度)(G X ω. 解：20220200000)()(d ])cos()[cos(e d )cos()cos(e 2)(ωωωωττωωτωωτωττωωττ-++++=-++==⎰⎰∞-∞-a a a a G a a X例13 设随机序列 X(n) = W(n) +W(n-1)，其中W(n)是高斯随机序列，)()(2m m R W δσ=，0=W m ，求 X(n)的均值、自相关函数和谱密度)(G X ω.0)]1()([)]([)(=-+==n W n W E n X E n m X)]1()1()(2[)]}1()()][1()({[)]()([)(2-+++=-+-+++=+=m m m n W n W m n W m n W E n X m n X E m R X δδδσ)cos 1(2)e e 2(e )()(j ωj ω2j ωωσω+=++==-+∞-∞=-∑m mXX m R G例14 如图所示X (t) 是平稳过程，过程Y (t)= X (t)+ X (tT)也是平稳的，求Y (t) 的功率谱。

)()()(2})]()([)]()({[])()([),(T R T R R T t X t X T t X t X E t Y t Y E t t R X X X Y ++-+=--+--+=-=-τττττττ)]cos(1)[(2e )(e )()(2d e )]()()(2[d e )()(j j j j T G G G G T R T R R R G X T X T X X X X X Y Y ωωωωωττττττωωωωτωτ+=++=++-+==-∞+∞--+∞∞--⎰⎰例15 色噪声的一个例子：如图所示 N (t) 为平稳过程，其自相关函数为2()eN R W ττ-=求功率谱密度。

2j 0(2j )(2j )02()ee d e d e d 44N G W W W τωτωτωτωτττω+∞---∞+∞-+--∞=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+⎰⎰⎰例16 设线性系统输入一个白噪声过程 X (t)，其自相关函数为 )()(0τδτN R X = 解：⎰∞∞-=-=)(d )()()(00ττδτh N u u h u N R YX)(1)(0ττYX R N h =假定过程 X (t) 和 Y (t) 是各态历经的，R N (τ)τ0 G N ( ωW2-0 W⊕ XY延迟T)()(1)(0ττ-=t X t Y N h通过测量互相关函数，可以估计线性系统的单位脉冲响应h(t)。

例17 如图RC 电路，若输入白噪声电压 X (t) ，其相关函数为)()(0τδτN R X =，求输出电压 Y (t) 的相关函数和平均功率。

解：RC i H 1 , )(=+=αωααω其中)()(t u e t h t αα-=0)](FT[)(N R G X X ==τω02222)()()(NG H G X Y ωααωωω+==τααωτ-==eN G R Y Y 2)](IFT[)(02)0(0N R P Y α==例18 如图有两个LTI 系统H1(ω)和H2(ω)，若输入同一个均值为零的平稳过程X(t)，它们的输出分别为 Y1(t) 和Y2(t)。

如何设计H1(ω)和H2(ω)才能使Y1(t) 和Y2(t)互不相关？解：互不相关⇔协方差为零 ⎰+∞∞--=*=τττd )()()()()(h t X t h t X t Yd )(11==⎰+∞∞-ττh m m X Yd )(22==⎰+∞∞-ττh m m X Y)()()(d d )()()(])()([)(21212121ττττττ-**=+-=-=⎰⎰∞∞-∞∞-h h R vu v h u h v u R t Y t Y E R X X Y Y)()()()(2121ωωωωH H G G X Y Y ⋅⋅=X(tY(tRCX(tY 1(tH 1(ω) H 2(ω)Y 2(t。