(2,1).求
PQ
的单位向量
a0
.
*总结: 求任意向量的单位向量的方法步骤为:
①确定任意向量的坐标 a (x;,y)
②计算模 a
x2 y2; ③计算 a0
1 (x,y). x2 y2
**课本P57:练习8.1(1): 1,2,3;
*提示: 代数法证明三点共线的充要条件是:
AC // BC
a
N (0,y)
A (x,y)
由平行四边形法则可得:
1 j
a OA OM ON;
O
i
1M (x,0)
X
OM x • i;
ON y • j;
a
OA
x
•
i
y
•
j;
(x , y) .
*感悟: 任意向量 a (平移)
位置向量
OA
x
•
i
y
•
j;
(唯一确定)
有序实数对(x,y)
向量 a的坐标.
表示任意一个向量 a呢?
1 j
O
i
1
X
*2.位置向量的定义:
a
Y
A
1 a
j
O
i
1
X
对于平面内的任意向量 a,可将向量的起点置于坐 标原点O,作 OA a,那么OA 就叫做 位置向量.
在平面上，如果选取互相垂直的向量时， 会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
λ 0 0.
*两个非零向量平行的充要条件:a//b
b
λa,( λ
0)
**单位向量的定义及其计算公式:
*把模为1的向量叫做单位向量.
*对于任意的非零向量 a ,与它同方向的单位向
量叫做向量
a
的单位向量.记作:a0 .
*单位向量的计算公式:
a0
a a
.
*提示: *有于向量的基础知识的具体内容可以阅读 课本后(P137)的附录部分.
(二期课改)
**实数与向量的乘积的意义:
*实数λ与非零向量 a的乘积是一个向量,记作: λa.
*对向量 λa 的模和方向规定如下: (1) λa λ a;
a 3a
(2)当λ
0时,λa与
a
的方向相同;
当λ
0时,λa与
a
的方向相反;
(3)当
λ
0时,0
a
0;
(4)任何实数λ与零向量的乘积为
零向量.
*若设:λ是一个实数,
a
(x
1,y
1
)
,b
(x
2
,y
2
)
.
*利用向量的正交分解法与坐标法的相互转换,容
易证明:
a
b
(x1,y1
)
(x
2 ,y
2
)
(x 1
x2
,y 1
y2
).
• a • (x1,y1 ) (x1 ,y1 ).
*感悟: 由上述法则实现了由向量的作图法运算(形) 转化为向量的坐标法运算(数),化繁为简.
C为AC与BC的 公 共 点
请根据你在这节课所学的知识谈谈你的收获与体会.
**向量作为一种常见的数学概念. 它是即有大小又 有方向的.前面已学习了其“形”的相关知识,本
节
开始就要研究其“数”的相关知识---向量的坐
标*1..基本单位向量的意义: 在平面直角坐标系内,方
向与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量就叫
做基本单位向量.分别记作为:
i
和
j
.
Y
*问题? 如何用基本单位向量来
D(x,y)
A(2,1)
*问题? 题(2)改为若A,B,C,D X 四点构成平行四边形的
四个定点,结果又如何?
*例题3:
已知向量
a
(4,1),b
(5,2).求
2a
3b的
坐标.
*感悟: 本例是利用坐标法进行向量运算的,简单方 便.当然也可利用正交分解法进行验证.
*例题4: 已知平面内两点P,Q的坐标分别为(-2,4)和
*5.直角坐标系内任意向量坐标计算公式.
Y
OP PQ OQ
PQ OQ OP
Q (x2,y2) P (x1,y1)
(x 2,y2 ) (x1,y1 ) O
X
PQ (x2 - x1,y2 - y1 )
*注意: *任意向量坐标等于终点坐标减去起点坐标.
*并有: 0 PP (0,0).
*5.向量模的计算公式:
a
x12 y12 .
*(向量坐标的探求问题)*
*例题1: 如图所示,写出向量 a,b,c 的坐标.源自Y2 A a1
*策略: **探求一个任意向量坐标可
-2 -c1-O1
1 2 b
X
-2
B
以通过其对应的位置向量 求得.
*问题? 对于直角坐标平面内的任意两点P,Q,如何利
用点P和点Q的坐标来表示出向量 PQ 坐标?
*例题2: 如图,平面上三个点A,B,C,的坐标分别为: (2,1),(-3,2),(-1,3).
(1)写出向量 AC,BC的坐标;
(2)若四边形ABCD是平行四边形,求D的坐标.
Y
C(-1,3)
B(-3,2)
O
*感悟: *本例是向量坐标计算公式
的应用问题.体会向量坐标表
示法能使解题过程简便易行.
如图，在直角坐标平面内，以原
点O为起点作OA=a，则点A的位
y
置由a唯一确定。
y A（x,y） 设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标；反过来，
ja
点A的坐标（x,y)也就是向量OA
Oix
x 的坐标。因此，在平面直角坐标
系内，每一个平面向量都可以用
一对实数唯一表示。
*3.任意向量的坐标的意义: Y
记作: a (x,y).
*1.向量的正交分解表示法:
a
OA
x
•
i
y
•
j.
*2.向量的坐标表示法的具有唯一性,确定性;
*3.向量的坐标与其终点的坐标是形同而意不同,应 注意加以区分;
*4.由向量的坐标的意义,容易得知:
i (1, 0); j (0, 1); 0 (0, 0).
*4.向量运算的坐标运算法则.